运用“草图”辅助理解数学核心问题的策略

张友峰

[摘 要]

在数学教学中，经常会碰到核心问题难于突破的情况，学生的学习经常停留于问题的浅表层面，不能进一步深入。结合“草图”运用的教学实例，阐述数学深度学习方面的实践尝试：直观理解数量之间的关系，探究数学概念的内在本质，突破方法指导上的难关，形成系统的知识体系。“草图”能够直观呈现学生的思维过程，明了知识之间的内在联系，把握内涵特征，让学生的学习进一步走向深刻。

[关键词]

小学数学；草图；核心问题；理解

笔者在一次市级教研活动中，有一个数学集体备课展示环节令人印象深刻，备课组老师围绕苏教版五年级“多边形面积”单元教学中存在的困惑进行了集中研讨，学生对于平行四边形和三角形的面积、底和高三者关系很难弄清楚，等底等高的情况下三角形和平行四边形面积有什么关系？等面积等底呢？等面积等高呢？这是本单元教学的一个核心问题，现场有老师推荐了很多教学方法，如：可以用假设法的策略试一试，或者可以让学生把三者关系熟记，可以快速解决问题，但总感觉这样的教学可能欠缺了一些思维的深度。

回归本源，为什么学生容易混淆这三者的关系呢？从低年级的具体情境问题到高年级的抽象推理问题，对于学生的空间想象能力提出了更高的要求，也许我们高估了孩子的现实起点，很大一部分学生还不具备解决该问题所需的抽象思维能力。理解抽象问题的最佳方式就是图形直观，苏教版教材在解决问题策略教学中，安排了画示意图和线段图的内容，培养学生运用策略解决实际问题的能力。但在整个数学教学中，画图策略的作用和价值不能仅仅局限在问题解决版块。在教学实践中，笔者认识到：要让学生深刻理解数学核心问题的实质，必须深入内在挖内涵，理解必须走向深刻。因此，笔者积极开展“草图”研究，鼓励学生运用个性化的“草图”把思维的过程呈现出来。

一、以图促思——发现数量背后的关系

波利亚说：抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们看得见，摸得着。在教学过程中，学生对于很多数学知识的理解是模棱两可的。在图形与几何领域，经常会碰到许多图形关系的核心问题，实物或课件演示是不错的方法，但是这种直观呈现方式经常留于表面，许多学生仅仅停留在浅表层面，思维不够深入的直接后果就是在实际解题时张冠李戴，数量错配。

例如，上面的例子中，学生经常会碰到的问题是：一个三角形的高是7分米，底是8分米，和它等底等高的平行四边形的面积是多少平方分米？一个三角形的面积是48平方分米，与它等底等高的平行四边形的面积是多少平方分米？如果仅仅停留在关系的简单记忆或者凑数字假设解决的程度，相信在今后向更高层次学习时，理解偏差会进一步暴露出来，对学生的深度学习和长期学习是不利的。如果像下面这样画“草图”处理的话，学生对于面积、底和高三者之间的关系可以认识得更加清晰，画下来的“草图”可以帮助学生实现“抽象——直观——再抽象”，一旦再次抽象成功，今后这类问题学生甚至可能在头脑中画出“草图”，对于学生空间观念的培养非常有价值。

又如，在苏教版五年级下册“分数意义和性质”单元中，学生经常会碰到这样的困惑：把2米长的绳子平均分成5段，每段占全长的几分之几？每段的长是几分之几米？分率需要用单位“1”除以份数，具体量需要用2米除以份数，这是单元教学的一个核心问题，如果仅仅停留在这种方法指导上是不够的，学生的理解也是不够深刻的。笔者让学生展开自己的思维，在草稿纸上画一画“草图”，表示这两种不同的分法，学生的思维豁然开朗。

在数学学习中，很多重要的概念都具有“双重性”，既有数的特性，也有形的特性，只有从多维度去认识它们，才可以更好地理解它们的本质意义。运用“草图”的力量，從不同的角度去思考问题，能够帮助学生透过现象看本质，把分数意义的理解直观化。数学家华罗庚说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”“草图”能够帮助学生突破语言描述的不足，深入理解代数的抽象性，也能够帮助学生分析数量关系，可以巧妙化解教学的难点。

二、以图明理——探索概念内在的特征

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。引入概念的方式有多重，如直接观察、计算呈现、推理证明、作图发现等。根据概念的抽象水平，我们可以把概念分为定义性概念和描述性概念。概念教学的关键是要帮助学生揭示其内涵和外延，了解概念的特点，明确不同概念间的关系，构建数学知识体系。

例如，苏教版五年级下册“最大公因数”和“最小公倍数”概念是这样呈现的：8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4，4就是8和12的最大公因数；6和9的公倍数有18，36，54，……其中最小的是18，18就是6和9的最小公倍数。这是典型的描述性概念，从概念文本上理解还是比较容易的，通过练习学生的掌握情况较好。但是，一旦碰到具体的解决问题，学生的各类混淆性错误就暴露出来了。

问题1：把长36厘米，宽24厘米的长方形，平均分成若干个大小相同的正方形（边长为整厘米），最少可以分多少个？

问题2：把若干个长3厘米，宽2厘米的长方形拼成一个正方形，至少需要多少个？

像这样的核心问题，学生常见的错误有：一是混淆最大公因数和最小公倍数两种概念；二是混淆边长和个数之间的区别。错误暴露出学生对于概念本质理解的不足，简单地模仿练习并不能从根本上理解概念内涵。如果借助“草图”画一画，把思考的过程呈现出来，可能就会达到事半功倍的效果。

“穷举法”对于培养人的思维缜密性具有无可替代的价值，在苏教版五年级上册“一一列举”策略教学中，这一策略概念的引入环节，安排学生进行握手游戏：请四位同学分别表示1～4号，互相握手，共有几种握法？在独立尝试中，学生可以较好完成，但是如何渗透有序列举这种思想？光靠学生的语言表达和实践操作，策略的意识可能仅仅停留在直观表象中，如何抽象表征呢？通过画一画“草图”可以寻找多种方式，帮助学生进行有序思考，养成全面思考的习惯。

有了这样的思考过程的展现，学生不仅能够根据已知条件，有序、不遗漏地找出所有可能情况，而且在问题解决的过程中还渗透了方法的多样性，感悟了“列举”策略的价值。在核心概念突破时，“草图”可以锻炼学生的思维能力，积累数学活动经验，感悟相关的数学思想方法。

三、以图破题——寻找方法指导的良药

数学家希尔伯特在其名著《直观几何》一书中说到：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”在数与代数领域，由于小学生的年龄特点和认知规律，数学抽象推理能力还比较薄弱，为了对学生进行更好的方法指导，需要在分析问题角度做大胆尝试。“草图”就是一个效果非常好的破题工具，可以成为方法指导层面的一味良药。

例如，在苏教版五年级下册“假分数化成带分数”一课中，教学尝试把假分数化成带分数时，很多学生想到运用分数单位的知识进行转化，但是转化过程中错误情况还是经常出现。学生容易把整数部分和分子弄混淆，计算还停留在算法层面，通过画“草图”对方法进行指导和纠正，进一步理解算理，问题就引刃而解。有学生画出了“大饼”图，也有学生想到用数轴图来转化，甚至还有学生想到用竖式图来表示方法，非常直观清晰。在几何直观训练基础上，学生的抽象表征能力得到提升，后期就不在需要画图了。

又如，在苏教版五年级上册“小数大小比较”教学中，学生在复杂易混小数的大小比较时，错误率非常高，原因有审题错误，也有方法掌握不到位等。部分学生再做类似的题目，仍然会错，这可能就归结为解题好习惯的缺失。“小数大小的比较”是在“整数大小比较”基础上进行教学的，与整数大小比较在方法相似，都是从高位开始比较，比较相同数位上的数字，但是由于小数点的干扰，学生的读题准确率不如整数。如果能帮助学生在方法层面加强指导，用“草图”形式培养思维的有序性，运用小数大小比较的方法，轻松就可以找到正确的答案。

问题：把小数从大到小排列，0.67，6.7，6.07，60.7，0.067，0.607，0.672。

通过画“草图”，依次排列所有的小数，再根据小数大小比较的方法，有序找出最大的小数，标上序号，最后根据题目要求，由序号依次从大到小排列，这样一道信息量比较大的问题就迅速得到解决。小数大小比较也是小数学习中的一个核心问题，通过以上的方法指导，可以快速破题，准确、高效、有序地比较小数的大小。

四、以图联结——构建知识体系的纽带

思维导图又称作心智导图，是表达发散性思维的有效工具，非常简单却又非常有效。在数学学习中它的优点不言而喻，可以构建知识体系中各种量之间的关联，具有形象化和简洁化的特点。小学高年级阶段，我们经常在“图形与几何”应用导图来整理知识体系，如多边形面积公式的推导、立体图形表面积体积的推导等。其实在“数与代数”领域也不乏有效的尝试，通过“草图”化的形式，让学生产生发散性思维，突破核心问题，建构知识体系。

比如，在苏教版五年级下册“公因数和公倍数”知识体系建构中，让学生根据之前学习的公因数和公倍数的有关知识，根据数与数之间不同关系的分类，独立尝试梳理思维导图。学生通过合作整理，全班交流等形式，形成了一份“公因数和公倍数”判断方法结构图。

相比枯燥的结论，抽象的判断，这样直观的“草图”学生非常乐于接受，通过看图，学生能够在头脑中建构“公因数和公倍数”的知识体系，明确知识点的来龙去脉，了解数学的美妙，激发学生的数学探究兴趣。

又如，在四年级下册“行程问题”学习中，学生对于同向而行、相向而行和背向而行概念模糊，实际问题中的环形跑道问题也会涉及到以上三种情况。在信息整理中要区分多种情况：一是要提高审题能力，二是要进行图形表征。通过让学生画一画“草图”，用集体的力量整理不同“行程问题”的条件，并用简洁的符号表示，逐步形成一张完美的“行程问题”结构图。

上图中，通过集思广益，发挥学生的创造力，教师适当地引导修正，凸显了三种情况的不同之处。在环形跑道问题中又把“相向而行”和“背向而行”联系起来，其实两者在跑道上是同一种跑法，在追赶超过一圈问题中，学生这样的表示方式让人记忆犹新，眼前一亮。充分发挥“草图”的优势，直观、系统、全面地呈现核心问题的特点，构建数学知识体系，引导和启发学生高效解决问题，有效培养学生的自主学习能力。

核心问题是一节课或者一个单元中最重要的问题，可以是一个或多个，是学生思考的重中之重，也是教学难点的集中点。这样的问题往往是整个知识体系的发散点，具备很强的思维深度，一旦突破它，学生的数学思维能力可以得到较大的提升。画好这样的“草图”，用好这样的“草图”，可以帮助我们直观理解数量之间的关系，探究数学概念的内在本质，突破方法指导上的难关，形成全面的数学知识体系，推动数学思维由浅表走向深刻，让学生的数学学习之路变得更加有趣而高效。

[参 考 文 献]

[1]王永春.小学数学思想方法解读及教学案例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.

[2]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2008.

[3]史寧中.小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.

（责任编辑：李雪虹）