一道方程错题引发的深层思考

陈明月

【摘 要】方程是属于数与代数的内容，掌握好解方程的方法，“只要能够在未知数和已知数之间建立起等量关系，就可以获得未知数的值”，这正是方程存在的独特价值。教师还可以借助这道易错题所创设的情境，拓宽学生的解题思路。

【关键词】小学数学；方程题；解题思路

一线的小学数学老师们，你们在教五年级上册第五单元简易方程“解稍复杂方程”这一课内容时，是否觉得学生在解方程的时候特别困扰，特别吃力呢？数学教科书上第69页，例题下面的“做一做”中的第2题，解下列方程的第二小题是3x-12×6=6，有不少的学生解这道题的时候，解方程的方法过程都一样（如下面图1所示），解题的过程中也是先把3x看成一个整体，接下来应该是根据等式的性质1和等式性质2来计算的，目的是把方程的左边减去12×6消除掉；但是这些同学在计算的时候，往往是第一步方程两边同时加上12，目的是把12这个数字先削掉，第二个解题步骤方程两边同时除以6，第三解题步骤是过程两边同时除以3，最后x=1，错得好像挺有道理？由此可见，这些学生在解方程的时候并没有真正理解掌握方程的实际意义。处理方式如下：

1.对症下药，提升数学思想方法

通过对一道错题的深入研究发现，学生掌握一个数学知识点不能仅依靠教师口耳相传，也不能单纯依赖机械模仿。学生只有靠自己发现、感悟、操作，才能丰富学习体验，学会每一部分知识。本题是一道解方程的计算题，教师如何做到让学生体验数学活动呢？本题可以设计成一道有情境的实际问题：陈老师去超市买了3支钢笔和12支圆珠笔，每支圆珠笔6元，3支钢笔的总价比12支圆珠笔的总价贵6元，求每支钢笔的价钱？根据第3个条件：3支钢笔的总价比12支圆珠笔的总价贵6元这一句可以列出这题的等量关系式：钢笔的总价-圆珠笔的总价=6，可以列方程为3x-12×6=6，根据情境设计的意图，把3x这个钢笔的总价看成一个整体，先算圆珠笔的总价12×6=72（元），本题解方程过程见（图2）。

2.一题多解，拓宽解题思路

方程是属于数与代数的内容，掌握好解方程的方法，它是可以帮助我们解决问题的，即：“只要能够在未知数和已知数之间建立起等量关系，就可以获得未知数的值。”而这，正是方程存在的独特价值。教师还可以借助这道易错题所创设的情境，拓宽学生的解题思路，教师引导学生还是根据情境中的第3个条件，列出不同的方程，如：方法二等量关系式

——钢笔的总价=圆珠笔的总价+6，列出方程3x=12×6+6；方法三等量关系式——钢笔的总价-6=圆珠笔的总价，列出的方程是3x-6=12×6。教师最终引导学生归纳出这三种方法方程解方程的共同特点，不管12×6在方程的左边或者在方程的右边，第一步骤要先求出12×6=72元，即圆珠笔的总价，同学们原来解题思路错误就是这一步错了。

不管有没有问题情境，在解方程的时候，首先要判断有几个运算符号，然后根据四则运算法则，先算乘除，后算加减，不能算的只能看成一个大的整体，能转化成只有一个运算符号最好，再继续算。

3.可以设计对比形式的习题，让形成的数学思想方法得到巩固

老师们可以通过设计对比形式的数学练习题，把比较稍复杂的解方程习题经过对比、转变的形式的出现，使学生在解方程对比练习中找到最一般的解题思路。比如：解方程的习题设计这样一组对比形式的习题——x-6=72、2x-6=72、3x-6=72、2.6x-6=72、7.8x-6=72、7.8x-2×3=72，当这6题的方程式子上下排列对齐的时候，让学生认真仔细观察这组方程数据，4人小组讨论一下，这6道方程在解方程的过程中有什么相同的特点和不同的特点呢？相同的地方是，第二部分是减数并且都是6，差都是72，那么第一部分是几个x都可以看成一个整体，都是处在被减数的位置，给它加框，通通转化成一个大的X，那么从第2列和第5列方程都可以转化成第一列方程了，解方程的步骤是相同的，第一步都是先把第二个减数6先削掉，方程两边同时加上6得X=72，也就是剩下几个x得72；最后再根据等式性质2解方程，从而得到方程的解。

学生在解决稍复杂的方程时，第一个步骤就是要先审题，把什么看成一个整体，可以用加框的形式，也可以转化成一个大的X，使稍复杂的方程转化成为只有一个运算符号；第二步骤再根据这个整体的实际运算符号的逆运算削掉第二个数，如+6-6互相逆运算转化再相抵消，×5÷5相抵消，最后使方程的左边只剩下一个未知数x，最终得到方程的解。

4.对比算术解和方程解，突出方程解的优点

史宁中教授指出：方程的本质是描述现实世界中的等量关系，这就是列方程的基本原则。在教学实际问题与方程的教学中，在学生的数学丛书里头有这样的一道题：北京故宫的面积72公顷，比天安门广场的面积的2倍少16公顷，求天安门广场的面积是多少公顷？有一部分学生都用算术解列式，方法一：72÷2-16=36-16=20（公顷）。方法二：（72+16）÷2=88÷2=44（公顷）。大多数学生用列方程解答，经过思考，找出这题的等量关系式，解法一：根据等量关系式——天安门广场的面积×2-故宫的面积=16公顷，列出方程为2x-72=16。解法二：根据等量关系式——天安门广场的面积×2-16公顷=故宫的面积，列方程为2x-16=72。教师引导学生把算术解得数和方程解的得数分别代入题目中去验算。经过学生们的验算，方法一20×2-16=24（公顷），显然方法一的同学错了，因为故宫的面积是72公顷，不是24公顷；方法二的验算和两种方程的方法一样，思路正确，最终求出的北京天安门广场的面積是44公顷。但是，陈老师对于方法二的同学有个疑问，（72+16）÷2中（72+16）表示什么意思，明明这句话故宫比天安门广场的面积的2倍少16公顷，里面有少16公顷，为什么，你们不用72-16，反而用72+16呢？

通过对比算术解和方程解，突出方程解的优势，为什么可以这样说呢？算术解是逆向思维，特别是一个量比另一个量的几倍多（少），像这类的实际问题模型，学生用算术解解决问题，往往会做错的多，没有好好理解题意，凑成完整的倍数，看到多就加，看到少就减，这是一种可怕的定势思维；如果用方程解，理解起来就是顺向思维，谁的几倍谁去乘，多就加，少就减，教师可以鼓励学生再遇到类似的问题，一般建议大多数学生采用列方程模型，先找到解决问题的等量关系式，再列方程并解答问题，得分率会更高，这就是突出了用方程解决问题的优势。

根据解方程的错题实例分析，要引起老师们对于解方程的本质的理解，解题思路不是一成不变的，要让学生先判断要解方程的题目有几个运算符号，根据四则运算法则，先算乘除，后算加减，不能算的只能看成一个大的整体，能转化成只有一个运算符号最好，再继续算。要让学生在算出方程的解的时候，及时验证方程的解，是否计算正确，这才是解题的根本。

【参考文献】

[1]洪菲菲.一道错题引发的教学思考.内蒙古教育[J].2015.05：54

[2]张齐华.独辟溪径，建构意义——《认识方程》教学设计与思考[J].教育视界，2016.02：23

[3]史宁中.基本概念与运算法则[M].2013.5：37-38