浅谈高中数学中的例题变式教学

夏友明

摘要：课堂教学中的各环节如果能够自然过渡，将会收到理想的教学效果。数学课堂中的例题教学是一个非常重要的环节，本文对例题的变式教学进行了阐述，旨在使一堂课前后连贯，自然顺畅。

关键词：数学教学；例题教学；流畅

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）06-0094

王国维先生在《人间词话》第四十章论述了诗词的“隔”与“不隔”之分，其大意为：在写诗或写词的时候，在情与境之间、境与境之间、句与句之间，语义连接之间要过渡自然，不露痕迹，状若行云流水是为“不隔”，反之就是“隔”。由此，笔者想到了高中数学课堂教学，如果我们在数学课堂设计中，能够注意各个环节之间、师生之间的活动、情感交流的自然過渡，水乳交融，使整个课堂教学过程状若行云流水，那应该是一堂“不隔”的好课。反之，可以说是一堂“隔”的课。这里，笔者只想对新课程中数学例题教学的“隔”与“不隔”发表一下自己的看法。

例题教学的“隔”与“不隔”，例题之间的关系能否设计得恰当，自然过渡关系到对于整堂课的“隔”与“不隔”的评价。如果仅仅为了强化某一知识点，而机械地堆积例题，例题之间孤独兀立，联系松散，自然难免有“隔”的嫌疑。那么，在例题教学中如何做到“不隔”呢？笔者认为，对例题进行巧妙的变式教学，是实现数学课堂“不隔”的基本手段。一般来讲，对于一个例题进行变式主要有以下三种方式：

一、基于同一种知识背景下的变式

这是在课堂中为了强化对某一知识点的理解和应用而使用的变式。例如：在函数单调性的教学中，课本必修（1）有这样一个例题：求证函数f（x）=-1/x-1在区间（-∞，0）上是单调增函数。要想让学生真正理解函数单调性的定义，这一个例题显然是不充分的，肯定还要再加上一定的例题或练习，如果抛开该例题，另起炉灶找几个题目也未尝不可，但笔者以为至少有两个缺点：一是对该例题没有研究充分，没有达到此例的最大效果；二是其他题目不易和课本有机地联合，稍稍有点“隔”，有脱离课本之嫌。为此，笔者做了以下变式设计：变式（1）：函数f（x）=-1/x-1在区间（0，+∞）上是单调增函数还是减函数？变式（2）：函数f（x）=-a/x-1（a>0）在区间（0，+∞）上是单调增函数还是减函数？变式（3）：函数f（x）=-a/x-1（a≠0）在区间（0，+∞）上是单调增函数还是减函数？变式（4）：讨论函数f（x）=-a/x-1（a≠0）的单调性。变式（5）：函数f（x）=-a/x-1（a≠0）在区间（0，+∞）上是单调增函数，试求a的范围。当然，在需要的情况下，我们还可以把题目的难度继续加大，直到达到我们预期的目的。这样做过渡自然，合情合理，让学生在不自觉的状态下加深了对函数单调性的理解，加深了对该例题的理解，而且自然而然在大脑中对这一类问题的规律有了清醒的认识，一气呵成，自然顺畅。

二、基于同一种思想方法背景下的变式

这是在课堂中为了强化学生对某一思想方法的理解与掌握而使用的变式。例如，在解析几何的求曲线的方程教学中，为了使学生深刻理解“消参”思想，我们可以把参数法、动点转移法和五式法统称为参数法合在一起进行变式教授，从而使学生建立明确的消参思想：消一个参数，需要两个等式，消两个参数需要三个等式，自然地，消四个参数必须建立五个等式，即所谓的“五式法”。同时，动点转移法可以叫做一点参数法，其意义是：所求轨迹上的动点，随着已知曲线上的一个动点（点参数）的运动而运动。而五式法又可以叫做两点参数法，其意义是：所求轨迹上的动点，随着已知曲线上的两个动点（两点参数）的运动而运动。推而广之，如果你设了N个参数，只要你找到N+1个等式就可以消去，加深了学生对“消参”思想的认识。这样授课，要比把这三种方法分钵取食好得多。

三、基于同一题目结构下的变式

一般来讲，一个题目的结构大致是这样组成的：条件（1）、条件（2）、条件（3）……结论。先在所有这些条件与结论中分析可以变动的元素，然后根据需要进行变式。例如，选修2-1有这样一道例题：求平面内到两个定点A、B距离之比等于2的动点M的轨迹方程。通过分析，题目中可以变化的元素有：定点、距离、之比为2。于是便有了以下几类变式：第一类，变动两定点为一定点和一定直线。第二类，距离可以改为直线MA、MB的斜率之间的关系，或者改为∠MAB和∠MBA之间的关系。第三类，变比这种运算为和、差、积或者平方和等等更加复杂的运算。第四类，改变运算的结果2为其他数，又可以得到很多的变式。通过这样的分析，该例题就是一个非常经典的例题，由此可见，课本的编排者在这一题上是煞费了苦心。

解决了对例题的变式，更重要的是如何处理这些变式。基于学生的认识水平，有的可以教师讲解，有的可以学生练习，有的可以讨论等。不管怎样，笔者认为应该把握“引而不给”的基本原则与策略。“引而不给”的教学策略在练习中可充分使用。所谓“引而不给”指在教学过程中，重在引导，不给定论的教学策略。在练习课中，教师角色的变换更加凸现：教师是一个组织者，让出更多的时间和空间由学生来发挥；教师是一个引导者，当学生需要时启迪学生思考，适时适度地点拨与引导能给予学生很大的帮助。

总之，教师在深刻地研究例题及其变式以后，就可以退居幕后变成学习的组织者，可以让出更多的时间让学生来表现。教师应该是催化剂，只要在学生需要的时候，像春雨润物那样启迪学生思考。所谓的课堂“不隔”，最重要的是让学生的认识过程自然顺畅，毫无阻塞。表面上教师在课堂中明显地退隐了，实际上对教师的要求更高了。

（作者单位：贵州省毕节市实验高级中学 551700）