分组码级联极化码

周田心，李 颖

(西安电子科技大学 综合业务网理论及关键技术国家重点实验室，陕西 西安 710071)

文献[1]在信道极化的基础上提出了一种可逼近香农容量限的构造性编码方法——极化码，并详细阐述了极化码的编、译码方案，同时证明了当码长趋于无穷时，极化码可以达到二元离散无记忆信道的信道容量．2016年底，国际移动通信标准化组织将极化码确定为5G控制信道增强移动宽带场景下的编码方案．

由于实际传输过程中使用的码长有限，这将导致极化码的某些子信道不能充分极化，进而使得在这些子信道上传输的信息比特产生错误．级联极化码是一种有效提升极化码性能的方式，文献[2]提出的循环冗余校验辅助的极化码方案在很大程度上提升了极化码的性能．文献[3]对该方法进行了详细的分析．文献[4]提出的奇偶校验级联极化码使得极化码的性能又一次得到提升．文献[5]中将极化码与BCH码(Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes，BCH)及卷积码进行级联，两种级联方式的误帧率均可在各种码率下呈指数衰减．文献[6]中提出了使用长度小于等于8的外码与极化码级联的方法，在提升极化码性能的同时，计算复杂度也无明显增加．

为进一步提升极化码性能，笔者提出一种级联极化码的编码方案，该方案采用经典分组码作为外码，极化码作为内码．与传统级联编码方案不同，该方案的外码仅选择所在子信道置信度较低的部分信息比特进行外码的编码，并将编码产生的校验比特放置在置信度最高的几个子信道位置上．这些校验比特与要传输的信息比特一起进行极化码编码，有效地利用外码产生的校验比特降低极化码的译码错误概率．还给出了一种修正的连续删除列表译码算法，该算法在原始的连续删除列表译码器译码结束后，将译码器列表中每一条译码结果所包含的校验比特分别进行校验，选择正确概率最高且可通过校验的一条译码结果作为最终的输出．

1 极化码基本原理

1.1 极化码的编码

(1)

1.2 极化码的译码

(4)

2 级联极化码方案

2.1 级联极化码的编码方法

在所提的级联极化码编码方案设计中，有两个参数需要仔细设计:一是参与分组码编码的信息比特的选取；二是所采用的分组码的参数．下面依次讨论．

2.1.1 信息比特的选取

(5)

Zq1≥Zq2≥…≥ZqN，qi∈{1，2，…，N} ．

(6)

(7)

2.1.2 分组码的参数

给定极化码的码长为N，信息比特长为K，在选择参与级联的分组码的参数(t，s)时，需要满足两个不等式条件:s

在分组码的选择方面，格雷码是具有良好性能的分组码，但由于其结构限制，不适用于级联码．里德穆勒(Reed-Muller， RM)码结构与极化码极为相似，级联情况下并不能提升极化码性能．汉明码是一种具有优异性能的分组码，其结构简单、方便使用，译码过程易于实现且具有足够的检错能力．将汉明码作为外码与极化码级联的过程中，对极化码的长度及码率没有严格要求，且汉明码的结构不会对极化码编码产生影响，同时可以提升极化码性能，编、译码复杂度也不会出现数量级上的改变．以BCH码和RS(Reed-Solomon)码为代表的循环码是线性分组码中的一类，但由于循环码使用移位寄存器，使得编、译码过程较汉明码而言更为繁琐，在与极化码级联后并未得到比汉明码级联更加明显的性能增益．综上所述，将分组码选定为汉明码，即汉明码级联极化码．

汉明码的参数形式为: (t，s)=(2m-1，2m-m-1)，其中，m为大于等于3的正整数．即汉明码码长t的取值须满足t= 2i-1，i=3，4，5，…，s的取值需满足s=t- lb(t+1)．令ξ为小于等于 lb(N-K) 的最大正整数，再结合上述两个不等式条件可知，t的取值共有ξ-2 种选择，其中t的最大取值为 2ξ-1．

2.2 级联极化码的译码算法

算法1 分组码级联极化码译码算法．

输入:L条路径中存放的译码比特序列

初始化: 存储校验比特的数组a[t-s]={0}

由图4可知，料液比改变时，藕片硬度以及感官评分基本不变，综上可以推断得出料液比不是影响硬度的主要因素，因此在后续实验中不作为变量考虑。

适用于所提级联极化码的译码算法需要在连续删除列表译码算法的基础上加入对应分组码的校验，如算法1所述．利用连续删除列表译码器选择出最后的L条路径后，需要再对这L条路径进行一次分组码校验．由于分组码编码产生的校验比特在接收序列中所在的位置是已知的，算法的第至第行表示在接收序列中筛选出校验比特，并将校验比特放入长度为t-s的数组中．

3 性能分析及仿真结果

在相同的条件下对级联极化码和循环冗余校验(Cyclic Redundancy Check，CRC)辅助的极化码进行仿真对比，使用二进制相移键控(Binary Phase Shift Keying，BPSK)调制，在二进制输入加性高斯白噪声信道中传输，连续删除列表译码器列表长L=32，CRC校验比特长度为8．由于极化码受自身结构限制，实现速率兼容存在一定困难，因此仅在码率为0.5的情况下进行仿真，其他速率情况下同样符合分析结果．

表1 信噪比为2 dB，码率为0.5时，不同信息比特长度的误帧率

不同的汉明码码长t对应的译码性能也不相同，表1中给出了在信噪比为 2 dB，码率为0.5时使用不同参数汉明码的误帧率结果．由表1可以看出，s值越大，即参与校验的比特数越多，会使得级联码的性能越优异．

固定极化码码长N=128，码率R=0.5，分别使用参数为(15，11)、(31，26)和(63，57)的3组汉明码与极化码级联，仿真结果如图2所示．其中横坐标为信噪比，纵坐标为误帧率．将3条曲线图对比可以发现，参与汉明码编码的信息比特为57时，利用编码产生的6位校验比特对串行抵消列表(Succession Cancellation List，SCL)译码器的译码结果进行校验所得性能最佳．这与表1中给出的数据结论相同，也就是说，参与汉明码编码的信息比特数越多，级联极化码的性能越好，但是这种性能上的优劣并没有造成数量级上的明显变化．

固定码率R=0.5不变，令极化码码长N改变，采用汉明码作为外码的级联极化码和CRC辅助的极化码的仿真曲线对比结果如图3所示．分别针对极化码码长为64、128、256及512的4种情况进行了仿真，在级联情况下，4种码长对应的汉明码参数分别为(15，11)、(31，26)、(63，57)及(127，120)．其中横坐标为信噪比，纵坐标为误帧率， HM-N表示汉明码级联极化码的码长，CRC-N表示CRC辅助的极化码码长．

图2 码长为128,码率为0.5时,不同汉明码参数性能对比图3 级联极化码与CRC辅助的极化码仿真结果对比

由图3中仿真曲线结果可以看出，在两种方案的码长相同时，汉明码级联极化码方案的性能均优于CRC辅助的极化码方案的性能．例如，当FER为10-2、码长为128的情况下，与CRC辅助的极化码方案相比，汉明码级联极化码方案有约 0.25 dB 的增益．但是当码长较长时，汉明码级联极化码的增益不再明显，这是因为随着极化码的码长增加，其本身性能会有所提升，使得外部的辅助级联码带来的增益变得不那么明显．

4 结 束 语

笔者设计出一种级联极化码的方案，在校验比特的辅助下，采用改进的连续删除列表译码器译码，可有效改善极化码的性能．在二进制输入加性高斯白噪声信道下的仿真结果显示，码长及码率相同的情况下，分组码的参数越大，级联方案性能越好．针对中短极化码码长，码率相同的情况下，选取多种码长进行分析比较，分组码级联极化码的性能均明显优于CRC辅助的极化码．由于极化码存在码长需固定的问题，而分组码结构相对简单，便于级联，所以将分组码与极化码进行级联在结构上对极化码影响较小，同时也提升了极化码性能．在后续研究中，在其他种类的分组码与极化码的级联方面还有很大的空间．