浅论初中数学生成性隐性课程资源的开发和利用

☉江苏省无锡市江南中学 高峰官

所谓隐性课程资源，又称隐蔽性课程资源或潜在性课程资源.这是相对于显性课程资源而言的，主要有隐性素材性资源和隐性条件性资源，具体包括数学知识的文化元素、过程元素、逻辑元素、背景元素和数学教学的环境元素等作用于数学教与学的各种隐性学习资源.生成性数学课程资源在数学教与学的活动中切实存在，可归类为数学知识的过程性元素之研究范畴.

一、充分认识生成性数学隐性课程资源的开发价值

生成性隐性课程资源的提出符合新课程改革所倡导的理念.对生成性隐性课程资源的开发和利用，不仅可提高教师专业的发展水平，而且能促进形成学生的主体性，更能提高课堂教学的质量.

1.有利于教师的专业发展

对生成性隐性课程资源的开发和利用，能够拓展教师的专业知识和技能.教师对生成性隐性课程资源的开发和利用，建立在教师对教材等文本多视角、多层面、多元化的解读上；建立在教师对课程目标和课程内容的准确把握上；建立在教师对学科内容知识和学科教学知识的充分掌握上；建立在教师具备的灵活多样的教学策略上，体现了教师个人专业知识的建构和优化.因此，生成性隐性课程资源的功能之一就是提高教师的教学技能、优化教师的知识结构.

教师的专业发展不仅包括专业知识与技能，还有教师的实践智慧.课堂既复杂又开放，既具有学生的不确定性又充满着师生的创造性，所以教师需要运用自身的教学艺术和智慧，抓住教育契机，采取合理有效的教学方式，对一些意想不到的事件进行有价值的改造、利用，这离不开教师丰富的实践智慧.因此，生成性隐性课程资源的开发可提升教师的实践智慧.

2.有利于学生主体性的形成

学生能否成为学习的主人，这是学生主体性的表现，也是新课程着重强调的改革方面.生成性隐性课程资源的利用体现的就是学生的学习主体性，能够调动学生学习的积极性和主动性，鼓励学生主动发现知识，养成在实践中学习及应用知识的学习态度与能力.学生个体之间总是存在着差异的，这种差异不仅表现在个人的心理、情感、认知、人际交往和价值观等方面，还表现在个体各自有其不同的生活环境，经历过不同的教育背景，对新生事物有着不同的思考和困惑，对新知识都充满着不同的兴趣，而生成性隐性课程资源的利用，就是在遵循学生身心发展特点的基础上，使课堂教学适应学生发展的特点和需要，有利于学生主体性的形成.

3.有利于课堂教学质量的提高

生成性隐性课程资源是课堂教学顺利有效实施的催化剂.课堂教学就是学生知识生成的过程，在这一过程中，学生的知识结构重新优化、组合和建构.生成性隐性课程资源的利用，有利于形成使教学活动得以顺利开展的“生长点”或“脚手架”，有利于教学活动在此基础上不断动态推进，从而保障课堂教学顺利、有效进行.当教师发现了学生错题中含有创造性成分，学生争论中擦出的思维火花时，若教师巧妙处理和解答，课堂就会释放出应有的活力.生成性隐性课程资源的利用，能让学生的主体性在教学中得到尊重，在教学中能够生成新的资源，师生互动在教学中得到充实、真正体现，从而让数学课堂焕发生命的活力.可见，让师生智慧与激情在生成性隐性课程资源的利用中相互碰撞，可提高课堂教学质量.

二、正确把握生成性隐性数学课程资源的内涵

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对生成性隐性课程资源的解释是将它作为数学课程资源之一进行描述的.能够应用于教与学活动中的各种资源是数学课程资源，而教学活动中提出的问题、学生的作业、学生学习过程中出现的问题、课堂实录、听课评议等属于生成性资源；它是在教学过程中动态生成的，如师生互动及生生交流过程中产生的新情境、新问题、新思路、新方法、新结果等.

从广义上讲，生成性隐性课程资源是具有课程意义的建构性资源，是指在教育者、受教育者、文本、环境等多种因素持续地通过多种形式相互作用，在过程中以真实的对话情境为依托动态生长的资源.

生成性隐性课程资源主要发生在课堂，就学生而言，叶澜教授总结了学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、学习方法与思维方式、合作能力与质量、发表的意见、建议、观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，无论是语言，还是行为、情绪方式的表达，都是教学过程中的生成性资源.就教师而言，虽然动态生成资源丰富，但它们往往都处于潜伏的状态，需要教师运用自身的知识、能力、情感、智慧、经验、意愿、性格、爱好、态度、品行、价值观和人格魅力等自觉主动、有意识去激活，这些也属于教学过程中的生成性资源.

对动态生成中蕴藏资源的开发与利用.课堂教学是一个充满变数的动态化过程，在这过程中，除了“预设”和“预设生成”，往往还会产生一些出乎意料的信息材料，这就是动态生成资源.正如叶澜教授所言：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发生意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”.

综上，常见生成性隐性数学课程资源主要包括以下几方面：一是隐性课程资源之课堂教学生成；二是隐性课程资源之教材例、习题的变式和拓展；三是隐性课程资源之学生作业与测试中的创新与“错误”；四是隐性课程资源之课堂实录、听课评议等.

本文着重就其中前三个方面加以阐述.

三、有效开发和利用生成性隐性数学课程资源

1.对课堂教学生成性隐性资源的开发与思考

（1）课堂教学生成性隐性资源的开发和利用是本文阐述的重要内容.对课堂教学隐性资源的存在形式，很多教师有各自的见解.福建师范大学的李炜教授在博士论文《数学教学生成研究》中对教学过程中一些常见生成性资源分成三类.

①问题型资源.

美国教育家布鲁巴克曾说：“最精湛的教育艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题.”因为问题是自主探究的出发点，学生显示自己的困惑、提出问题，生成了非预设性的教学资源，则学生的学习就成为一种发自内心的探索，不再是被动的灌输.所以在学习中学生出现的疑难、困惑或模糊不清的认识，以及在教学过程中教师即时生成的某些非预设性“问题”都属于问题型资源.

②错误型资源.

心理学家盖耶说：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻.”师生每天都要在数学教学中与数学错误打交道.不知错误就无法谈及正确，理清错误，汲取教训，也就明白了正确.对教学而言，师生所犯的错误是可被开发和利用的宝贵资源.

③差异型资源.

在教学过程中，为充分拓展学生的思维、实现学生个体相互间的资源共享，更为生成学生个体的知识意义，需将学生在认知中表现出的独特想法、新颖见解等个性化的思维方式和多样化的探索策略作为教学资源，这种资源产生于学生不同的认知基础和认知风格，称为差异型资源.

（2）开发课堂生成性隐性资源的基本策略.

①充分预设，为教学生成奠定基础.

课前预设是上好一堂课的基础和前提.但是，我们不能忽略学生是一个个活生生的个体，更不能忽略教学过程中学生的主体地位和学生身上存在的巨大主观能动性.学生在课堂的言行肯定会超出教师的预设，甚至打乱教师的预设.充分的预设是上一堂好课的基础，更是生成教学的基础.课前预设主要包括两方面的内容，一是针对教学内容，教师要深入钻研课程标准、教材，理解教学内容的实质和意图；二是针对学情，了解学生已掌握的知识和要学习的知识间有什么联系，学生的智力基础如何，哪些地方需要细致深入、反复讲解，学生之间差异有多大.作为教师，只有课前做好充分预设，才能换来动态生成式的教学精彩.

②教师提出有启发性的问题.

当教师提出有启发性的问题时，往往能引起学生认知上的冲突或勾起学生的好奇心，从而使学生展开思考和联想，才会引出学生很多想法和观点.一千个读者心中有一千个哈姆雷特，当不同学生对教师的同一个有启发性的问题提出不同的想法和观点时，这些想法和观点往往会超出教师的预设.这样既保证了学习过程中学生的主体地位，又产生了新的教学资源生成.

③教师从学生错误解答中引出生成.

当学生解答问题出现错误时，教师不应显现出厌恶或斥责的表情，而应冷静思考.错误出现时，生成也很有可能出现，学生的错误往往是教学中一种宝贵的教学资源.

④教师从学生正确解答中引出生成.

在教学中，往往会出现这样一种情况，教师让某同学回答问题，这个同学回答正确了，但是，这并不能代表大多数同学都掌握了本节课的知识，甚至这位同学也没有完全理解本节课的内涵，也许是死记硬背了解题方法.教师要善于追问，在追问中往往会加深对新知的理解、产生新的生成.

2.对教材例、习题的改编和拓展的开发思考

例题教学是课堂的重要环节，加强对例题的教学是提高课堂效率的一种重要方法.这就要求教师对教材的充分理解和对例、习题的深度把握，在此基础上才能发挥每一课堂环节的实效.然而，教材上的例题是有限的，也比较简单.有这样一种现象，学生听老师讲例题的时候都能听懂，但到自己做题的时候就不会了.这其中很重要的一个原因就是教师对例题的讲解不够充分，挖掘不够深刻，问题本质揭示不到位.教师要认识到，教材上的例题不是例、习题的全部，只是一个引子、一个起点，教师要学会对例、习题进行“二次开发”，对例、习题中的思维和方法进行拓展，让学生通过例、习题的理解、演变、反思获得更多的技能，从而充分挖掘例、习题的思维价值.

在教材例、习题改编中应注意以下几点：

（1）尊重原教材编写意图.

尊重原教材内容是对教材例题进行“二次开发”的首要原则.教材是经过专家们不断推敲和研究后编写的，教材中的任何一道例题或练习都不是随随便便编排的，是知识的提炼和精华所在.因此，教师在对教材例题进行“二次开发”的时候，不能舍弃原教材中的内容，而要以原例题为基础进行开发.教学中首先要围绕教材例题展开教学，要先讲完教材中的例题后，再对例题进行拓展和开发，这样才是有效的.

（2）对例、习题中的背景进行延伸.

为激发学生的思维活力，教师在对例题讲解时可对例题的背景进行优化和延伸，根据实际生活为学生创造一个更加真实的知识体验.比如，在讲抛物线的时候，可以用当地出名的桥或桥拱、隧道顶来做例子，改动原题数据，创造一个真实的问题情境.又如在学习三角函数时，可用生活中一些真实的山或建筑物讲解，学会用三角函数测量.这样学生易进入学习状态，能提高学习积极性.可见，数学与生活相结合，能产生新的学习资源，让课堂气氛更活跃.

（3）对例、习题中的题设和结论进行变换.

教师还可以通过对例题中的题设和结论的变换达到二次开发的目的.教材中的例题一般是具有代表性的，为了训练学生的思维能力，加强学生对知识的理解，可以采用这样的方法提高课堂效率.特别是在几何证明题当中，变换题设或结论，可以很好地达到拓展学生思维的目的.

（4）对例习题的知识范围进行扩充.

一般来说，教材例题中所涉及的知识点是本单元、本节中所学知识点，知识点范围会相对窄一些.但在实际考试及运用中，题目的考查方式往往是综合的，也就是说，一道题目会涉及几个不同的知识点，这就要求学生综合使用知识点解决问题.所以，在例题教学中，教师可对例题中的知识范围进行一定的扩充，对例题进行拓展，把相关的一些知识点及常见的考查方式融合到例题中，让学生综合使用不同知识.比如,在学习三角函数的时候，可以把前面学习过的相似三角形知识结合到一起；可把二次函数与二元一次方程结合到一起进行对比和学习.通过对例、习题知识范围的扩充，可加强知识间联系，对帮助学生形成知识网络是非常有利的.

3.对学生作业和测试中出现的“错误”的开发与思考

学习数学需要做题，做错题不可避免.因此，初中生做错题是很自然的，但很多错题并非是偶然产生的，有些错题会反映出学生产生错误的规律性因素.因此需对错题进行归纳总结、分析研究，从中吸取教训，将错题作为生成性资源加以利用，以促进学生的知识掌握、能力提升.

对于教师而言，学生知识的薄弱环节和思维方法的缺陷会在错题中暴露，一位优秀的教师会研究学生的错因、收集学生的错题并分析，形成对学生各种思维误区的预见，能够在以后教学中给予针对性辅导.教师不应将产生错误的原因完全归咎于学生，应从教与学双方面进行反思.学生在学习中必定会出现“错题”，这是最直接、最丰富的教学资源.对于学生的错误，要采取慎思态度，善待错题，合理利用错题形成生成性资源，促进学生认知、思维、情感和品格的形成，这具有非常重要的教育价值.

数学错题具备生成性课程资源的主体依赖性特点.应将学生错题应用在特定的教育情境中，通过教师和学生的交往、对话、互动等生成学生的认知和实践经验.错题资源的教学利用体现了教师和学生的资源加工和处理能力，融合了教师和学生的集体智慧.

怎样进行数学“错题”隐性资源的开发与课堂实施呢？

（1）预设错误，警示学生少犯错误.

教学经验丰富的教师，会对学生的学习情况了如指掌.教师可以预设错误，通过错误，引起学生重视，从而避免学生犯同样错误.例如，在学习一元二次方程根与系数关系时，教师举例：已知一元二次方程2x2-6x+7=0，有两根之和x1+x2=3，让学生讨论解法是否正确.讨论后，学生认识到根与系数关系公式的运用前提是方程要有两实数根，而此方程恰恰没有实数根，从而警示学生要注意数学公式的适当范围，增强数学思维的慎密性.

（2）巧取错误，引导学生自主质疑.

批判性思维的一个重要表现就是科学的质疑态度，对习以为常的东西要多加审视.只有采取批判的态度，才会有所创新.要培养学生思维的批判性，就要训练学生学会质疑.例如，老师有意讲解了这样一道题：已知三角形的面积为36，周长为24，则内切圆的半径为多少？如果教师形式化地用公式其中，r表示内切圆的半径，s表示三角形的面积，p表三角形周长的一半，就有半径等于3.这样做对吗？我们知道，周长为定值的三角形中，以等边三角形的面积最大，因此，容易算出，周长为24的三角形的最大面积为，显然小于36.可见，这道题本身就是错误的.教师在平时例、习题讲解中要善于引导学生质疑，利用好这些课程资源.

（3）辩析错误，促进学生反思和完善认知.

有这样一道探究题：有一张8×8的正方体纸片，把这张纸片，按图1所示剪开，把剪出的4个小块按图2拼成一个新的图形.教师问：“这是一个什么样的图形呢？”学生动手拼合后，好多学生回答：“这是一个长13、宽5的长方形.”教师问学生能确定吗？学生回答感觉上好像是这样.

图1

图2

这是一个因为直觉而误导学生的数学问题.正方形的面积为64，而长方体的面积为65，显然不对，但学生又无法说明为什么观察的结果是错误的.错误在哪里呢？这显然产生了一个很有思维价值的教学资源.

学生经过逻辑思考，推断只有一个可能：图2中的纸片所示的图形不是长方形，不可以用长方形的面积公式求面积.然后，可引导学生测量图形的左上角和右下角，发现确实不像直角.教师告知学生，这个想法是正确的，但需给出逻辑说明，这样引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程.

至于证明，教师可引导学生运用反证法证明，让学生加深对相似图形的理解.

如图1中，过D作AC的垂线交AC于F，假如图2中的图形是长方形，那么图形左下角应为直角，则可推出图1中有：∠BAC=∠EDF.由三角形相似判定定理可知，△ABC △DEF.应当有，这显然是矛盾的.因此，图2中的图形不可能是长方形.那么为什么学生容易产生直觉错误呢？其原因在于这个差很小，因此造成视觉上的误差.教学中，教师可鼓励学生运用不同的方法对此问题进行解释.正是在这样的质疑、交流中，学生的思维品质得以优化.

总之，生成性课程资源是数学隐性课程资源中的重要组成，也是数学教与学研究的一个热点话题.作为一线数学教师，需做课程资源开发的有心人，需开拓视野，突破传统思维的局限性，从多角度、多维度挖掘教学实践中的隐性资源；要加强对现有生成性隐性课程资源的价值研究和实践研究，要形成具有指导性和操作性的开发策略；同时积极开展教学实践，在实践中合理利用隐性课程资源，这对于培育学生的数学核心素养大有裨益.