基于数学核心素养视角下的命题尝试——以七年级数学期末考试压轴题的命制为例

☉山东省滨州市邹平县实验中学 郭春梅

☉山东省淄博市周村区王村中学 郑学涛

一、问题提出

关于数学核心素养的内涵一直以来众说纷纭，界定不一，但对于数学核心素养的终极取向，一线教师的定位基本一致，即培养学生的关键能力和必备品格，体现在课堂中就是综合利用所学知识更快、更好地解决问题的能力，助力自己的成长和社会发展所需.考试是评价学生核心素养养成效果的重要手段，因此基于数学核心素养视角下的题目命制就要立足于综合问题的解决，考查学生数学建模、逻辑推理、数学运算、几何直观等几方面核心素养的调度、配合和切入能力，同时让学生获得终身受益的思维、能力和品格.

二、研发立意

命制试题的范围主要包括的章节有全等三角形、轴对称现象、勾股定理、实数、平面直角坐标系、一次函数.根据知识的特点和核心素养的终级目标的要求，压轴题的命制落脚在重点考查一次函数的部分知识和技能，此外本次命题还有另外三个立意：第一，基于学生已经做过的习题，主要以教材例题和习题为主，增加原有问题的深度和广度，设计新问题，使学生在解答问题时思维能够快速切入新问题内部；第二，由于命制的题目为期末考试的压轴题，因此要体现出一定的综合性，最后的效果要保证解题需要应用两个或者两个以上的一级核心知识点或者核心技能，试图挖掘学生对知识和技能的调配能力；第三，题目必须有一定的区分性，能够立足于不同的人在数学上得到不同的发展，将具备不同数学素养的学生区别开来，体现出考试的区分性价值，便于教师作出学期末教学评价.

三、题目呈现

在平面直角坐标系中，有两点A（0，2）和B（2，4）.

（1）如图1，请在平面直角坐标系中找出这两点的位置；（2分）

（2）如图1，请在x轴上找一点P，使得PA=PB，请使用尺规作图找到P点的位置，并结合具体运算求出P点的坐标，验证尺规作图所求点的正确性；（3分）

（3）如图2，请在x轴上找一点Q，使AQ+BQ的值最小，找到Q的位置，并求出Q点的坐标；（3分）

（4）如图3，请在x轴上找一点M，使MB-MA的值最小，求出M点的坐标，并简要说明理由.（3分）

图1

图2

图3

四、研发说明

本题依托平面直角坐标系命制，第一问体现出一定的基础性，而第二问、第三问的首要要求是借助尺规作图找到点的位置，其用到的知识、技能是作已知线段的垂直平分线和作已知点关于已知直线的对称点，由于教材中有相关例题和习题，加之平时训练充分，因此学生具有良好的思维和习惯基础，能够获得一定的分数.而对于求出P点的坐标，按照笔者的预想，需要用到三角形全等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等两个一级知识点，或者应用已知坐标求两点之间的距离和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等两个知识点，虽然利用坐标求两点之间的距离是立足于勾股定理这个一级知识点下的二级知识点，但学生在复习时有所触及，也并非难题，也即从方法生成的角度来看，学生的选择余地较大，视野也较为开阔，尺规作图之后的几何直观能为学生提供良好的解题视角和端口.而第三问求Q点的坐标对于学生来说难度较大，要用到一次函数的模型解决问题，对于刚刚接触一次函数模型的学生来说有一定的难度，但是只要学生拥有良好的“两点确定一条直线”和“在平面直角坐标系中，已知两点坐标即可求得过这两点的直线表达式”及“Q点是直线与x轴的交点”的线性统筹能力，也能快速解决问题，获得一定的分数，当然这需要学生有良好的几何直观（观察Q的位置）、逻辑推理（几何问题联想代数方法）、数学建模（构造一次函数图像模型）及数学运算（求一次函数表达式）等核心素养的调度统筹能力.第四问是本题的压轴问，也是本试卷的压轴一问，虽然并不难以计算，但对七年级学生来说，利用“三角形两边之差小于第三边”求线段的最大值问题还是较为困难的，况且还要用到求一次函数的表达式的知识点，虽然二者均为课标规定的一级知识点或技能，但是二者跨度大，对优秀和良好的学生来说具有良好的区分性.

五、实际效果

从考查的知识点的全面性来说，本题基本达到了要求，这一点从题目的具体解答和本文所述的研发说明中即可看出.从考试的成绩来看，本题基本达到预设的效果，本题满分11分，全年级平均分为6.26分，与预设的难度系数0.6基本一致；而从阅卷卷面来看，几乎所有的学生都能写和画，改变了以往学生看到压轴题只字未写的局面，而且本题的满分率（优秀率）为8.37%，良好（8分）率为21.79%，基本实现了区分性；从考后的效果来看，试题具备了诱导反思的价值.由于七年级学生具备一定的反思能力，考试之后学生自发进行了几方面的反思，主要体现在：第一，对于教师强调的重点知识、重要技能的掌握不够精致，好高骛远的思想普遍存在；第二，计算能力有待于提高（一些学优生将一次函数的表达式求错）；第三，也是最重要的一点，体会数学各部分知识的整体性和联系性对于解决综合问题的价值，要更加注重课堂深度探究和深度思考，同时学生对教师的课堂教学增进了信任并产生合理范围内的知识信仰.总体而言，题目对于学生的数学核心素养形成较为客观的反映，对学生的学习态度和学习方法具有一定的引导和纠正价值.

六、命题感悟

1.数学核心素养下的数学命题要以公认的核心知识、技能为背景

数学核心素养具有高度聚合性，它是学生将来走上社会处理复杂问题经常使用的数学知识和技能，也是在教学中方便统筹其他数学知识和技能的“好东西”，因此教师在命题的时候要立足于数学核心素养的考查进行问题的设置，在本题中，解决第二问所用知识不但是课程标准明确规定的而且是所有版本教材中都会涉及的问题，先设计尺规作图，实则是笔者想通过作图帮助学生建立一定的几何直观，无论是利用全等还是两点间的距离解决问题都要首先观察到P点到A点和B点的距离是相等的，且证明全等和求两点间的距离（其内涵还是勾股定理）都是数学核心的知识和技能，第二问和第三问的最终结果都是通过求解一次函数的表达式然后求一次函数与x轴的交点得到，能够有效考查学生的建模思想和运算能力等数学核心素养.新课标修订组负责人王尚志教授认为，在整个数学课程标准中，数学学科核心素养处于中心地位，“数学运算”是数学学科六个核心素养之一，因此考试题目的设置要基于一定量的计算，但考试设置“压轴题”并不是为了为难学生，尤其是期末考试并非结业考试，试题不仅能对以前所学知识进行检验，也能够为学生下一步的学习指明方向.

2.数学核心素养下的数学命题要具有积极的教学导向价值，更加有益于教与学

数学核心素养是着眼于学生未来的思维品质与关键能力，数学教学的问题性、过程性、整体性是数学核心素养培养的必由之路.数学核心素养不是一个学段的目标，而是终身学习的开始，因此每个学期学生所学的知识都会成为将来学生核心素养大厦中的一砖一瓦，为此数学核心素养下的数学命题要具有积极的教学导向价值，要使学生充分认识到课堂教学和课堂中的积极思考对于解决问题的价值，说教师不能说，言教师无法言的数学教学内涵，通过只可意会不可言传的自觉反省、自觉顿悟传递给学生一些信息.数学的教育终归是思维的教育，而无论这种思维是用数学的眼光看待具体的数学问题，还是通过解决数学问题培养了意志力、理想情操，只要题目设计得好都可以让学生有所斩获.本题很多小问题衍生于平时训练的题目，如尺规作图，求到两点的距离相等和求距离之和最小，但是又对平时所解答的问题做出延伸，它让学生认识到，随着知识的学习，许多问题可以进行更加深入的思考和研究，包括学习新知识之后对旧问题更加细致的研究和探讨，而教师通过这种手段进行价值引导，让学生更加专注于课堂中的探索性问题，学生对教师的引导也能够产生积极的信任，有益于下一步的教和学的达成，以便更好地在核心素养的养成中添砖加瓦.