函数零点巧变换 切线为媒显神威

广东省惠州市第一中学 (516007)

方志平

有关函数零点的不等式证明问题，是近几年高考的一个热点问题.由于此类题目结构千变万变，设问方式各不相同，使得问题变得十分灵活.对于这类问题，我们如何进行思辨呢？又如何去解答呢？本文阐述的是一类借用切线证明有关函数零点的不等式问题，方法新颖，独具一格，赋有创意.这仅是此类问题的冰山一角，权当起抛砖引玉之用.

图1

(1)先证明当-1

令h(x)=2ex+1-x2+2x+1，h′(x)=2ex+1-2x+2，令φ(x)=2ex+1-2x+2,∵x+1>0,∴φ′(x)=2ex+1-2>0,知φ(x)在(-1,1)上单调递增，∴φ(x)>φ(-1)=6>0,即h′(x)>0,h(x)在(-1,1)上单调递增，∴h(x)>h(-1)=0,即g′(x)>0,所以g(x)在(-1,1)上单调递增，∴g(x)>g(-1)=0,∴g(x)=2e(x+1)-f(x)>0，即当-1f(x)成立.

图2

评注：本题若直接求解函数f′(x)=m的零点，简直是无法求得，由于本题证明的问题是关于函数零点差的不等式，并非是等式，于是数形结合，联想到借助曲线y=f′(x)与x轴交点处的两条切线为“媒”，将“函数零点差”巧妙放大为“两切线与直线y=m交点的横坐标的差”，从而使问题迎刃而解.

上述这种变换零点,依切线为“媒”的求解策略，使问题变得简洁、清晰，其解法使人耳目一新，彰显出其别具一格的魅力！同时也将数形结合的思想提升到了一个新的高度，这对提高学生解题能力和培养其学习数学的兴趣都大有裨益，另外，也为此类问题的推陈出新发挥着抛砖引玉的作用.