圆族的构造与应用

广东省云浮市新兴县惠能中学 (527400)

何国飞

笔者针对人教版教科书上的一类求圆方程的例题、习题，进一步研究发现，通过构造出满足条件的圆族，能大大地减少运算.

记直线l：Ax+By+C=0,圆C0:x2+y2+Dx+Ey+F=0；曲线C:(x2+y2+Dx+Ey+F)+λ(Ax+By+C)=0(这里A,B,C,D,E,F及λ均为实常数).我们不难证明下面的三个结论：

(Ⅰ)如果直线l与圆C0有两个交点，则过这两个交点的圆可用C表出；

(Ⅱ)如果圆与直线l和圆C0两两相切且有同一个切点，则该圆可用C表出；

(Ⅲ)与直线l切于点(x0,y0)的圆可用(x-x0)2+(y-y0)2+λ(Ax+By+C)=0表出.

下面几例，就是这三个结论的应用.

例1ΔABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)、B(7,-3)、C(2，-8)，求它的外接圆的方程.

解：过A、B两点的直线l为2x+y-11=0，以A、B两点为直径端点的圆C0为(x-5)(x-7)+(y-1)(y+3)=0.过A、B两点的圆可表示为C:(x-5)(x-7)+(y-1)(y+3)+λ(2x+y-11)=0.

圆C过(2，-8)点,把(2，-8)点代进圆C,得(-3)(-5)+(-9)(-5)+λ(2×2-8-11)=0，解得λ=4.故所求的外接圆方程为(x-5)(x-7)+(y-1)(y+3)+4(2x+y-11)=0，即x2+y2-4x+6y-12=0.

例2 求经过点M(2,-2)以及圆x2+y2-6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程.

解：圆x2+y2-6x=0与圆x2+y2=4交点所在的直线方程为3x-2=0，设所求的圆为x2+y2-6x+λ(3x-2)=0，M(2,-2)代之得-4+4λ=0,λ=1,故所求的圆为x2+y2-6x+(3x-2)=0，即x2+y2-3x-2=0.

例3 求过点(3,1)且与直线x+3y-7=0切于点(1,2)的圆的方程.

解：设所求的圆为(x-1)2+(y-2)2+λ(x+3y-7)=0，点(3,1)代入得5-λ=0,λ=5，故所求的圆为(x-1)2+(y-2)2+5(x+3y-7)=0，即x2+y2+3x+11y-30=0.

例4 求过点(3,1)和点(6,-3)且与直线x+3y-7=0相切的圆的方程.

解：设圆与直线x+3y-7=0相切的切点为(7-3t,t)，则所求的圆方程为(x+3t-7)2+(y-t)2+λ(x+3y-7)=0.