基于“古典概率”的发展背景，培养学生创新思维能力

广州工商学院基础教学部 李 萍

法国数学家庞加莱曾说：“如果我们想要预见数学的未来，那么适当的途径是研究这门学科的历史和现状。”概率论产生于17世纪中叶，是研究偶然、随机现象的规律的数学理论。早期的概率论是一种经验的科学，作为一门经验科学的古典概率论最直接地起源于一种相当独特的人类行为思想的探索：人们对于“机会的游戏”（英语中的“game of chance”）的研究思考。所谓机会的游戏，是靠运气取胜的一些游戏，如赌博、抽奖、彩票等等。

为了更清楚地了解古典概率的发展脉络，介绍发展历史上的一些重要事件，其中，1774年，拉普拉斯在“论概率”一文中给出了概率的定义：概率指的是合适情况的个数占所有可能发生的情况的个数的比例。1820年（第三版）出版的著作《分析概率论》，是古典概率论的金字塔，给出了概率的古典定义：若一实验的可能结果为n个具有相等可能性的事件，而且其中m个是有利于事件A的发生，则事件A发生的概率P(A)是：

随着实验次数的增加，一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定的数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。

古典概率的定义并不是很难理解，并且古典概率的公式在实际应用时也是比较容易的，但是在实际教学中，多数教师是直接给出古典概率的定义、公式，大部分还停留在填鸭式教学模式上，导致学生对古典概率的本质理解不透彻，不知道哪一种随机事件是古典概型，从而不知道何时使用古典概率的公式，这些都不利于激发学生的创新思维能力。

下面通过对实际生活中的一道古典概率题的几种解法的讨论来说明如何在求解古典概率的过程中，激发学生的创新意识，培养学生的创新思维能力。

例：10件产品中有4件次品,从中任取2件产品，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。（对于这道题，会有多种不同解法,整理出以下几种）

解法1：设A={另一件也是次品},因为10件产品中有4件次品,从中任取2件产品,显然取到哪两件产品都是等可能的,所以样本空间中样本点总数为,而另一件也是次品的基本事件总数为由古典概型概率的计算公式,得

解法2：设A1={已知其中一件产品为次品},A2={另一件产品为次品}，

解法5：设A= {另一件产品也是次品}, 10件产品中有4件次品,从中任取2件产品,已知其中有一件是次品的样本空间样本点总数为,另一件也是次品的基本事件总数为,由古典概型概率的计算公式,得

上述答案中只有第4、5种解法是正确的,前三种解法都是错误的,那么为什么会出现这么多种错误的解法呢？原因还在于对题意不能正确地理解。

解法1的错误是把10件产品中有4件次品,从中任取2件,按常规计算得样本空间总数为而没有把题设条件“已知其中有一件是次品”考虑进去,从而把样本空间中样本点总数给扩大了。

解法2的错误是把题目中“已知其中有一件是次品”理解为抽取的第一件产品是次品,而把求“另一件产品也是次品”理解为在第一件产品是次品的条件下求第二件产品也是次品的概率。当然,这个题目用条件概率也是可以做的。

解法3的错误是把“已知其中有一件是次品,求另一件也是次品的概率”理解为抽取到的两件产品都是次品的概率问题。

作为数学教师，在日常课堂教学中要经常地选择一些发散性强的典型数学知识或问题，让学生了解问题背景、知识背景，通过创设问题情境，形成创造气氛，然后再通过问题解决，培养学生的创新思维能力。