例谈“分数解决问题”的解题策略

刘东平

乡村小学数学教师常常困扰于教学中遇到的一些问题，也因这些困惑一直得不到有效解决而苦恼，久而久之这些问题便成为“教师难教，学生难学”的问题，尤其是分数（含百分数）“解决问题”这部分内容最为突出。“国培计划——送教下乡”培训活动搭建了专家与教师面对面交流的平台，为这些难题的破解创造了条件和机会。以下“解题策略”即是在送教过程中对分数解決问题展开研讨的成果。

策略一：“特例法”，变一般为具体，化神奇为自然

例1 填空：（1）甲比乙多，则乙比甲少（ ）；

（2）乙是甲的，则甲是乙的（ ）；甲是总数的（ ），乙是总数的（ ）。

（3）水结成冰后体积增加，那么冰化成水体积减少（ ）。

以上问题由于没有具体的数字可供计算和比较，学生只能胡乱猜测。教师的处理常常只是用一个具体的数字为例加以分析后得出答案，忽略了向学生解释“为什么可以这样”以及“怎样选取这个数字”，让学生感觉这个数字像“帽子里掏出的兔子”（波利亚语）一样玄乎，难以把握。再次碰到类似的问题时仍然出错，教师自身困惑不已。事实上，教师在此使用的是小学数学中常用的“特例法”。为此，教师需要向学生解释“特例法”的原理。至于举例所用的数字，不难看出，可以是分母的正整数倍（分母本身最简单）。如：（1）中取“乙=5”；（2）中取“甲=3”；（3）中取“水的体积=11”。这样一来，学生就能更好地理解和掌握，遇到类似的问题时不再出错。

策略二：“逐步翻译”，变文字语言为数学语言，化繁为简

学会把文字语言准确“翻译”成数学语言，常能化繁为简，帮助学生准确理解题意，进而正确解答问题。例如“学校食堂运进540千克大米，正好比运进的面粉多。食堂运进多少千克面粉？”此题可按：“…比…”→“…是…”→“… =…”的格式“逐步翻译”如下：“大米比面粉多”→“大米是面粉的（1+）”→“540是面粉的（1+）”→“面粉=540÷（1+）”。应用此策略可帮助学生正确解答分数解决问题中几个极容易混淆的问题。

例2 填空，并列式计算：学校有足球120个， 。问篮球有多少个？

（1）篮球是足球的；（2）足球是篮球的；（3）篮球比足球多；（4）足球比篮球多；（5）篮球比足球少；（6）足球比篮球少。

本题中，学生极容易混淆“该加还是减”“120该乘还是除”，老是出错。若应用上述“逐步翻译”策略，则可较好地解决此问题。例如选择填（3），则可“逐步翻译”如下：“篮球比足球多”→“篮球是足球的（1+）”→“篮球是120的（1+）”→“篮球=120×（1+）=160”。选择填写其他各项，均可按此策略获得解决。

策略三：“去情境”，回归基本问题，化难为易

乡村小学的数学教师们在新授课时，常“创设问题情境”以帮助学生理解数学知识和方法，然而，也常忽视“去掉问题情境”回归数学知识本身，致使学生对数学知识或方法的理解过于情境化，很难形成有效迁移。事实上，“去情境”也是解决问题的策略之一。许多分数问题，看似复杂，如果去掉具体情境后就可简化成基本问题，求解自然不再困难。众所周知，小学数学中分数的三个最基本的问题是：1.求一个数是另一个数的几分之几？2.求一个数的几分之几是多少？3.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

例3 在通常情况下，体积相等的水的质量比冰的质量多。现有质量50千克的水，如果有一块冰的体积与这些水的体积相等，这块冰的质量是多少千克？

此问题曾令不少学生望而生畏！其实，该问题看似复杂，更多的却是关于情境和条件的描述；如果去掉问题情境和条件，就可回归为基本问题3。可运用上述“逐步翻译”策略“去情境”如下：“水的质量比冰的质量多”→“水的质量是冰的质量的（1+）”→“50是冰的质量的（1+）”即“已知冰的质量（一个数）的（1+）是50，求冰的质量（这个数）”。于此可得冰的质量（这个数）= 50÷（1+）=45千克。

策略四：“善转换”，因势利导，在变化中培养思维的灵活性

例4 张大伯家的鸡和鸭一共养了300只。其中鸭的只数是鸡的。张大伯家的鸡和鸭各养了多少只？

这类问题的求解，乡村小学的数学教师们常常是就题讲题，不善于进行变式教学，结果往往事倍功半，影响学生对数学的综合理解和思维灵活性的培养。事实上，这里的条件“鸭的只数是鸡的”至少还有以下7种与之等价的不同的表述：（1）鸡的只数是鸭的；（2）鸡︰鸭=3︰2；（3）鸭︰鸡=2︰3；（4）鸭的只数比鸡少；（5）鸡的只数比鸭多；（6）鸭的只数是总数的；（7）鸡的只数是总数的。上述每一种表述都对应着一种解法（算式）。例如对应原条件的算式是：鸡的只数=300÷（1+）=180（只）。这类问题需要教师在学生理解每一种表述及其对应算式的基础上，通过拓展练习，让学生能根据不同的表述自主做出恰当的转换，培养思维的灵活性。

策略五：“常比较”，发现不同，在与整数的比较中理解分数

例5 两袋大米，第一袋重20千克，如果从第二袋中取出放入第一袋中，两袋就同样重。第二袋大米原来重多少千克？

此题不少学生会把题意理解成“第二袋比第一袋多2个”，于是得出算式：20×（1+2×）= 36（千克）。类似的问题教师的处理常常是：1.指出其算法是错误的；2.给出正确算式：20÷（1-2×）=100（千克）。对此学生难以接受，想不通自己的解答为什么是错的。细致分析学生的解法，有一定的合理成分即第二袋确实比第一袋多；其错误在于把“分数当成整数”来理解。为此，教师需要帮助学生理解分数不同于整数的特征，以期形成正确的分数概念。就此题而言，教师可引导学生做如下比较：1.比较“第一袋比第二袋少2个”与“第二袋比第一袋多2个”是否一样？为什么？本题正确的理解应该是前者还是后者？2.补充一道整数的例题：“两袋大米，甲袋是乙袋的2倍。如果从甲袋中取出10千克装入乙袋，两袋就一样重了。原来两袋大米各重多少千克？”在此题中，仍做比较“甲袋比乙袋多2个10千克”和“乙袋比甲袋少2个10千克”是否一样？为什么？3.把原题和补充例题再作比较，注意体会分数和整数的区别。正如区分孪生兄弟最好的办法是让两人在一起找出其不同特征一样，理解易混淆的概念或方法最好的策略就是做比较，在比较中找出二者的差异。

策略六：“用方程”，变逆向思考为顺向思考，学习新思维

例6 列式计算：甲数是60，比乙数的少20，乙数是多少？

看似很简单的一道题，学生仍然经常出错。原因在于算术解法需要逆向思考，不少学生还是会在“20应+还是-”“该×还是÷”上犯糊涂，常出现如下3种错误：（1）（60-20）÷=100；（2）（60-20）×=16；（3）（60+20）×=32。遗憾的是，教师的处理常常是仅给出正确的解法：（60+20）÷=200。有的学生由于不能真正理解，碰到类似的题会一错再错，成为顽疾。解决这一问题的策略，一是可运用上述“逐步翻译”的策略加以解决；二是用方程的方法，变逆向思维为顺向思维：设乙数为x，列方程：x-20=60， 解方程得：x=200。由于方程是顺向思维，学生容易理解和接受，也就不容易出错。上述各例（例2除外），若用方程来思考和解答，都更容易理解和接受，由此可见方程思维的优势。

需要指出的是，上述所说的各种策略并不是孤立的，常需要综合考虑和灵活运用。另外，上述针对分数讨论的策略，适用于百分数解决问题的内容。