改进方程教学促进中小衔接

冷满红

在小学阶段，解题多用算术方法。这与学生在小学阶段数学学习的特点有关：1.小学阶段，使用算术方法的频率远远高于方程方法，学生更习惯于用算术方法解答；2.方程方法书写繁琐，算术方法程序简便；3.使用分析法或综合法寻找解题路径得到的训练充足，学生熟练程度高。而从分析数量关系入手解题，学生却感到陌生和困难；4.小学阶段的应用题数量关系比较简单，学生对方程方法解题的优勢体会不深；5.对于未知数较多的题目，不知道该用字母表示哪个未知数，等等。

到了初中，一方面题目中未知数增多，数量关系趋于复杂，方程方法解题成为必需；另一方面，代数已成为数学学习的核心内容。两个学段，教学上的差异，要求上的不同，造成了学生在从算术走向代数过程中的诸多困难。

“教学生6年，为学生想60年”。作为一名小学数学教师，应跳出小学数学的框子，站到更高的高度来看待和反思自己的教学，通过改进方程的教学，让学生在小升初后的学习更加顺畅。

一、抓住本质，着眼关系学方程

从本质来看，算术学习，重在对“数量”的理解。代数学习，重在对“关系”的探讨。然而在小学数学教学中，代数的学习在很多课堂上并没有体现出应有的特点。

1.比。在教材中，比被解释为“两个数相除，又叫作两个数的比”。于是很多老师注重将比与除法或者分数进行联系和沟通。事实上，比是两个数之间关系的一种表示形式。在教学中，教师却往往没有抓住比的这个实质内涵进行比的概念教学。

2.用字母表示数。儿子的年龄用x来表示，父亲的年龄则用（x+26）来表示。需要指出的是，（x+26）实际上有两种含义。一是表示父亲的年龄，二是表示父亲与儿子的年龄之间的关系，即年龄差永远为26岁。教学中，教师往往对第一种含义比较重视，第二种含义却经常被忽略。

3.方程。在小学数学教材上，方程被解释为：含有未知数的等式。这个描述并未体现出方程的本质特点。方程的核心价值，在于寻找未知数与已知数之间的联系，从而建立起数量之间的相等关系。

如果说，算术解法体现的是一个过程，等号表示运算的开始，那么方程方法体现的是一个相等的关系，等号表示这种等量关系的确立。

在方程教学中，教师经常让学生观察天平的状态，并列式。

如，师：天平左边放着两个20克的砝码，右边放着一个40克的砝码。天平平衡了。你会用算式表示吗？学生列式为20+20=40。

尽管算式很正确，但是天平的教学价值却体现不够。在学生的心中，这仍是一个计算的过程，即从左边的20+20，通过计算，得到右边的40。等号在这里，仍然是执行运算的标志。

抓住天平的平衡状态展开教学，让天平“住”进学生心中，很多老师进行了有益的探索。全国赛课一等奖获得者纪子成老师在教学这个环节时，追问：“（这里的相等）你是算出来的，还是看出来的？”一个“算”与一个“看”，一字之差，却道出了本质上的不同：是运算的过程还是特定关系的提炼。

二、梳理关键，分类指导列方程

如前所述，寻找等量关系是建立方程的前提。然而，在小学数学教学中，这个方面却没有获得足够的重视，学生寻求等量关系的能力偏弱，这直接导致了学生对用方程解题感到困难。如果梳理小学数学中应用题的数量关系，并对学生加以分类指导，会有事半功倍的效果。

1.根据常见的数量关系列方程。

例如，两个工程队同时开凿一条长500米的隧道，各从一端相向施工。甲队每天开凿12米。甲队施工2天后，乙队开始施工。甲、乙两队同时施工20天后隧道打通，乙队每天开凿多少米？

从题目可知，甲队的工作效率是12米/天，甲队的工作时间是（2+20）天，乙队的工作时间是20天。工作总量是500米。根据工作效率×工作时间=工作总量，可以列出方程。

在小学阶段，常见的数量关系还有：速度×时间=路程，单价×数量=总价。

2.按照计算公式列方程。

例如，一个圆柱的底面半径是2cm，把它削成一个最大的圆锥。这个圆锥的体积是50.24cm3，这个圆柱的高是多少cm

从题目可知，这个圆锥和圆柱是等底等高的。求圆柱的高也就是求圆锥的高。依据圆锥的体积计算公式：V=πr2h，可以列出方程。

在小学阶段，计算公式大致有以下四类：一是关于周长的计算公式，如，长方形的周长=（长+宽）×2等；二是关于面积的计算公式，如圆的面积=πr2等；三是关于体积的计算公式，如圆柱的体积计算公式：V=πr2h；四是关于特殊量的计算公式，如利息=本金×利率×存期，图上距离：实际距离=比例尺等。

3.紧扣关键语句列方程。

例如，甲、乙两人共同植树，甲植了60棵，比乙所植的树的多8棵，乙植树多少棵？

这道题目中，数量关系句是“（甲）比乙所植的树的多8棵”，根据数量关系句，可以写出等量关系式：乙植树的棵数×+8=60，从而列出方程。

4.抓住不变量列方程。

例如，小芳读一本书，如果每天读40页，6天可以读完。如果想8天读完，那么平均每天要读多少页？

这道题目中，读书的天数随着每天读的页数的变化而变化，而这本书的总页数却是不变的，由此可以列出方程。到了六年级下学期，学生学习正比例和反比例的知识后（人教版教材），对于这类问题则可以借助比例来解答。

三、遴选题组，价值对比用方程

在教学中，学生经常会询问老师：“这道题要用方程做吗？”这句问话道出了方程教学的尴尬：方程方法不是学生的自觉需要，而是被强加的要求。追问背后的原因，最主要的还是学生没有体会到方程方法解题的优势所在：一方面，过于简单的数量关系，经常被要求用方程解题，导致方程方法在学生心中被异化；另一方面是方程方法在小学数学教学中没有得到足够的重视，显得零碎和突兀。这些直接造成学生在初中学习方程时情感上准备的不足与思维建构上的尴尬。

梳理小学数学的教学内容，实际上很多问题用方程解会更加简便。教师应有意识地开展题组训练，促进学生对方程方法形成正确的认识。

1.鸡兔同笼问题。

例如，某班买来两种笔记本共37个，一共花了68元。一种笔记本的价格是1.5元，另一种笔记本的价格是2元。买来的两种笔记本各有多少个？

在人教版教材中，鸡兔同笼问题编排在四年级下册，方程的内容编排在五年级上册。在学习方程之前，学生一般用假设法解题，列式为：（37×2-68）÷（2-1.5）或（68-37×1.5）÷（2-1.5），难度可想而知。

学习方程后，教师如能引导学生用方程方法解题，在对比中，学生则可以体会方程方法的优势。

2.和倍（差倍）问题。

例如，一张桌子的价格是一把椅子的5倍，买这样一套桌椅需要720元，一张桌子多少元？椅子呢？

在这个问题中，由于桌子和椅子的价格都是未知数，学生用算术方法求解比较困难。如果不借助线段图，学生对算理的理解可能会陷入困顿。

教师让学生用算术方法和方程方法解题，对解题的过程进行辨析，方程的优势便呼之欲出了。

3.“标准量”未知的题目。

例如，父亲今年36岁，比儿子年龄的3倍还多3岁，儿子今年多少岁？

在这个问题中，学生用算术方法思考时，经常会因为对“多3岁”的理解不对而做错，出现“（36+3）÷3”之类的算式。如果用方程方法解，抓住数量关系句列方程，则会变得很简单。

再如：某校六年级原有学生370名学生，今年男生转出10%，女生转出5%，这时男女人数一样多。现在该校六年级共有学生多少人？

这道题中，男、女生人数都是未知的，造成了算术方法解题困难。如果用方程方法，用字母x表示男生人数，女生人数为（370-x），则可以列出方程：x×（1-10%）=（370-x）×（1-5%）。

如上几类问题，教师如能采用题组的形式呈现，引导学生进行两种方法的对比，学生在深刻体会各自特点基础上，便能在解题中灵活选择并加以应用了。