立足学生思考的数学教学

严必友

摘 要：以数学思维活动引领数学教学，教学生学会思考应当成为数学教学的本源性活动.教学生学会思考的数学活动形式主要有三类：一是引导学生深入理解数学知识、追根溯源、反思质疑；二是捕捉机会渗透并应用数学思想方法；三是学会数学研究的一般方法，即经历提出问题、猜想假设、探索验证、构建概念、解决问题等各环节的完整研究过程.

关键词：数学教学；数学活动；数学思维

数学教育家A. A.斯托利亚尔有个重要的观点：数学教学是数学思维活动的教学[1].的确，以数学思维活动引领数学教学，教学生学会思考应当成为数学教学的本源性活动. 数学教学既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力方面的独特作用，培养学生推理、判断、决策的能力. 实际上，“授之鱼不如授之渔”，教给学生学会数学思考的方法，他所学到的将是未来可持续发展所需要的思维品质.

那么，数学教学要从哪些方面教学生学会思考呢？笔者认为，尽管“教学生学会思考”的形式和机会不一而足，但以下三类数学活动形式应是最主要的载体：一是引导学生深入理解数学知识、追根溯源、反思质疑；二是捕捉機会渗透并应用数学思想方法；三是学会数学研究的一般方法，即经历提出问题、猜想假设、探索验证、构建概念、解决问题等各环节的完整研究过程. 本文就此做些探索和思考.

一、以数学知识学习为载体的学会思考

数学课堂教学的大部分活动聚焦于数学知识的理解与掌握. 数学概念、命题、公式、法则等知识的学习是数学活动的主体，几乎是每节数学课必然要面对的. 如何在这些常态的数学课堂里教学生学会思考也就成为数学教学的重要任务.

思考是在具体的数学活动中进行的，在知识学习中“教学生学会思考”就要提供给学生自己投入数学知识的理解、建构、掌握活动的机会. 这些数学活动包括对情境材料的数学化、对数学对象的表述、对数学问题及结果的反思质疑等. 数学思考是以这些活动为载体的，活动越深入，思考也就越有质量.

例如，以下“加权平均数”的教学片段由无锡江南中学张珉老师执教，在并不复杂的数学知识学习中引导学生通过对情境材料数学化、对数学对象表述、对数学问题及结果反思质疑等数学活动进行数学思考.

教师首先抛出一个引导性问题启发学生思考.

师：（呈现问题一）学校举行一次知识竞赛，我班选派了15个同学参加竞赛，共有3种得分，分别是80分、85分、90分，你能求出这15个同学的平均成绩吗？

【评述】问题一是为了引导学生发现在一定的情境下必然会出现加权平均数，而不是人为生造的. 该情境材料是学生身边的生活情境，虽是以基础知识为载体的简单问题，但因问题开放，数学化过程中容易产生错误的结果，对学生的思考启迪作用是显而易见的.

生1：把80，85，90相加再除以3，就是这15个同学的平均得分.

师：这位同学的观点是把3个得分加起来除以3，即[80+85+903]（板书）. 还有没有不同的解法呢？

生2：我认为，需要知道这3个成绩在人数里所占的比例，才能做.

师：哦！这位同学说，需要知道这3个成绩所对应的人数. 好！现在有两种观点：有同学说把3个成绩相加除以3，有同学说这个平均分要看这3个成绩在人数里所占的比例.

我有些糊涂了，我们来分组讨论一下. 请这个小组派一位代表来说一说.

生3：我们组赞同第二位同学的方法，先找出每个分数对应的人数，把分数与对应的人数乘起来，相加，再除以总人数，我们觉得这样比较公平.

师：好的. 我们再请一个小组. 你们这个小组派一个代表，你们讨论的结果怎么样？

生4：我们也同意第二个同学的观点.

师：你们还是认为，这3个成绩要知道它对应的人数.

【评述】利用校园活动创设情境问题，贴近学生生活，情境自然. 教师语言比较生动、幽默. 用解题方式复习旧知，比单纯记忆背概念公式更有效，把知识与运用情境结合，使知识情境化、条件化. 通过引导学生合理地表述数学对象，讨论、对比不同的结果，使学生思考、感悟加权平均数的产生原因.

师：（呈现问题二）你来给每个成绩分配一个人数，这时候怎么来求平均成绩？

生5：假如是15个人的话，我就分配3个成绩正好都是5个人.

师：现在这位同学提出来，把这三项成绩都分配5个人，那么现在你能来求平均分了吗？哪个同学来说一说？

生6：80×5+85×5+90×5，它们的和除以15.

师：15就是刚才的3个5相加，（板书） [80×5+85×5+90×55+5+5]（教师特别把15改成5+5+5）.

再请一个同学，还有没有什么其他的分配方法？好，你来说一说，你有什么分配方法？

生7：因为3个成绩都是5个人，所以只要把3个成绩加起来乘以5，然后再除以15就行了.

师：哦，你跟他是一样的. 还有没有其他方法？

生8：分配成9，4，2.

师：就是分配成9个人，4个人，2个人. 现在这位同学把这15个同学分配成： 9，4，2 （板书）. 请坐，这时候根据她的分配方法又怎么来求出平均数呢？你来说说看.

生9：把80×9+85×4+90×2，再除以9+4+2.

（板书）[80×9+85×4+90×29+4+2] .

这是什么意思？9就是成绩80在这组数据中出现的次数. 4就是85这个成绩在整个这组数据中出现的次数. 同样，2就是90这个成绩在这组数据中出现的次数. 根据成绩数据出现的次数不同，我们就给它一个数据——“权”. 我们就把“9，4，2”叫作“80，85，90”这三个成绩的“权”，用这种方法求出的平均数叫作“加权平均数”.

【评述】巧妙地设置探究活动，让学生“来给每个成绩分配人数”，以此领悟“权”的本质，这样的数学活动不是局限于一个公式的识记与理解，而是让学生在学习过程中自己思考其中的道理，对公式的理解自然也就趋于深刻.

毋庸置疑，对于概念或公式等知识性的新授课教学，如果提供给学生合适的素材和问题，设置有效的思考路径，能够产生良好的探索思考活动. 在这样的思考过程中，学生学会的不仅仅是对知识的识记与掌握，更重要的是对问题的分析、解决方法，随着探索的深入自然也就深化了对知识的理解.

二、以数学思想方法学习为载体的学会思考

“教学生学会思考”的教学离不开数学思想方法的渗透，数学思想方法实质上是前人在数学研究中积累的成熟的思维方式，是数学思考的结晶.

中小学阶段涉及的数学思想方法已经很丰富.例如，常见的数学思想有对应思想、比较思想、符号化思想、归纳思想、类比思想、转化思想、分类思想、数形结合思想、统计思想、函数与方程思想，等等；常用的数学方法有换元法、配方法、消元法、反设法、分析法、综合法、待定系数法、构造法、模型方法、整体代换法，等等. 教学过程中注重挖掘、整理和渗透，无疑是激发学生数学思考的绝好机会和载体.

日本数学家米山国藏对数学思想方法的教学意蕴有过中肯的评述：“学生在初中、高中时接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常在出校门后不到一两年就忘掉了. 然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，却随时随地地发挥作用，使他们受益终身.”[2] 可见，相较于数学知识的教学，数学思想方法的教学对于培养学生的数学思考力作用显明.

例如，已知函数

[f（x）=sinx， x<1 ，x3-9x2+25x+a， x≥1.] 若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，求实数a的取值集合.

引导学生学会以数学思想方法为载体思考数学问题，往往能使问题迎刃而解.

本题首先应结合函数图象使用数形结合与分类讨论思想思考问题：当x<1时，f（x）=sinx与y=x有一个交点；当x≥1时，f（x）=x3-9x2+25x+a与y=x应有两个交点.接着使用特殊化思想，考虑x=1的情况，也有一个交点；这样，当x>1时，f（x）=x3-9x2+25x+a与y=x只能有一个交点.再借助数学结合思想方法判断y=x应是曲线f（x）=x3-9x2+25x+a的一条切线，这就把问题化归为导数的几何意义，至此问题迎刃而解.

【评述】这类问题的解题教学，要避免局限于问题解决的结果呈现，而要致力于引导学生学会利用数学思想方法自主探索解题过程，让学生感悟到分类讨论、一般与特殊、数形结合以及化归等数学思想方法的魅力与价值，并注重引导学生归纳数学思想方法使用的特点和规律.思想方法的使用与归纳本身就是一种高层次思维活动，对培养学生的数学探索活动能力，提升数学思考的层次与水平具有直接的意义，教学中应善于捕捉各种机会，适时地渗透数学思想方法，使得以数学思想方法为载体的学会思考的教学常态化.

三、以研究问题的一般方法学习为载体的学会思考

“教学生学会思考”还应当上升到一个更高的层面——教给学生研究问题的一般方法. 这里所谓研究问题的“一般方法”，就是指研究数学问题的基本方法，是一种本原的方法，是人们探索数学领域乃至整个世界的最根本方法，具体涉及以下几个环节：创设情境提出或形成问题、构建概念或关系、探寻或设计方法、提出解决问题的猜想与假设、验证猜想、建立解决问题的理论与方法.

这种方法论层面的数学教学每一步都激励着学生的数学思考. 数学教学中，应当根据学习材料的特点，设计恰当的方案，有意识地引导学生学习提出问题，建构概念，寻找方法，最终学会研究问题的一般方法.

例如，“对数”概念的教学，就可以根据相关的素材，设计成由学生自己提出问题、探寻方法、建构概念、解决问题的过程，从而使学生感受、学会研究问题的一般方法.

以下“对数”的教学片段是由南京师范大学附属中学张萍老师执教.

师：同学们，在前面学习指数函数时，我们曾见过这样的问题情境.

问题情境：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留量是原来的84%. 设该物质的最初质量为1.

问题1 你能就此情境提出一个数学问题吗？

师：请将你的问题写在草稿本上.

【评述】提供材料引导学生自己提出问题，颇有新意和启发性，很好地激发了学生主动思考的积极性. 而且，由于问题的设置具有弹性和开放性，给学生留出思考的余地，学生提出多种问题，思考量是可想而知的.

生1：经过5年，这种物质的剩留量为原来的多少？

师：是多少呢？（寫下来）0.845=N.

师：还有不同的问题吗？

生2：经过多少年，这种物质的剩留量为原来的一半？

师：这个问题怎么解决呢？（写下来） 0.84x=[12].

【评述】出现本节课的目标性问题，就可以顺此继续让学生进一步探索下去了.

师：同学们提出了很好的问题，这两个问题实际上都与我们学过的指数函数y=0.84x有关.

第一个问题是已知指数x求幂y；第二个问题是已知幂y求指数x.如果底数是未知的，那么，我们还可以解决已知指数x和幂y求底数a的问题.

这些问题本质上就是在研究ab=N（其中a>0且a≠1）中已知两个量求第三个量.

师：之前我们已经研究了已知a，b求N，比如：

32=9，53=125…

我们还研究了已知b，N求a，比如：

a5=32?a=2，a3=5?a=[53]…

現在我们还可以研究什么问题呢？

【评述】还可以研究什么问题？仍让学生自己去探寻.

生：已知a，N，求b.

比如：

2b=2?b=1，

2b=4?b=2，

2b=3?b=？

问题2 2b=3，这样的指数b有没有呢？

【评述】抛出颇具思考诱惑性的问题，启发学生想办法去判断究竟是否存在这样的b.无论是估计还是利用数形结合方法都能使学生领悟到研究数学问题的一般方法.

生3：2b=2?b=1，2b=4?b=2，2b=3，b在1到2之间.

师：为什么？

师：2b从2增加到4，指数b就相应地从1增加到2？

从数的角度进行解释.还能从其他角度来解释吗？

生4：2b=3这个问题和指数函数y=2x有关，我们可以作出它的图象来观察.

师：图1是 2x=3与y=3的图象，发现它们有交点，而且只有一个，那么指数b在哪里呢？

图1

生5：交点的横坐标就是我们要求的指数b.

师：从形的角度来解释很好，刚才那位同学实际上利用了指数函数的单调性，从数的角度作解释的.

师：现在如何表示这里的指数b呢？指数b由2和3确定，数学家用log23来表示，读作以2为底3的对数，其中2为底数，写在下方，3叫真数.

这样，我们就由等式2b=3（指数式）得到等式b=log23（对数式），对数式中的对数b就是指数式中的指数.

……

师：根据这些具体的例子，你知道一般情况下，对数是怎么表示的吗？

生：ab=N?logaN.

……

至此，完成对数概念的初步建构学习过程.

【评述】综观整个教学过程设计，立足于让学生经历提出问题、建构概念、探寻或设计方法、提出解决问题的猜想与假设、验证猜想、建立解决问题的理论与方法，收到很好的教学效果. 学生在主动探究的过程中，认识到学习对数的必要性，理解了对数概念建构的意义和价值，发现遇到对数的问题可以转化为指数问题来解决，学生完全领悟到研究数学问题的一般方法. 这一过程中思考的深度是可圈可点的.

以上所谈的三类数学活动是教学生学会思考的主流形式，课堂教学中只要注重寻求各种机会激发学生思考，是能够收到良好的效果的. 但笔者认为，教学生学会思考更应成为一种教学观念. 只有数学教师头脑中形成一种根深蒂固的“教学生学会思考”的观念时，才能在日常的数学教学活动中产生一种真正意义上的教学生学会思考的效能.

参考文献：

[1]A. A.斯托利亚尔.数学教育学[M].丁尔陞，等译.北京：人民教育出版社，1984：序言.

[2]米山国藏.数学的精神思想和方法[M]. 毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986： 序.