一道浙江省数学竞赛题的“源”与“流”*

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(杭州学军中学，浙江 杭州 310012)

2018年浙江省高中数学竞赛颁奖大会已经结束，笔者有幸参加了此次会议，并在会议上做了一个20分钟的讲座，内容是对一道省赛题的思考.会后笔者与一些专家和同行进行了交流，讲座的内容反应良好，故笔者将其整理成文，和读者分享.

题目将2n(其中n≥2)个不同整数分为2组：a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn，证明：

(2018年浙江省高中数学竞赛试题第14题)

1 源头和背景

本题是一个改编题，经过搜索，笔者找到了该题的源头.

源题证明：对于2n(其中n≥2)个不同实数a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn,有

(1999年波兰数学奥林匹克试题第二天第2题)

该题的2n个数是实数，而浙江省赛题是2n个整数，整数与实数的本质区别在于整数具有离散性，即任意两个不同整数之差的绝对值不小于1，也正因为如此，省赛题中不等式右边的代数式才会有一个正的下界.

会后，笔者和命题组教师进行了交流，得知该竞赛题的背景来源于高等数学中的矩阵[1].不妨设a1

其中矩阵LT为矩阵L的转置,于是

|ai-bj|+|aj-bi|-aj+ai-bj+bi=(|ai-bj|+ai-bj)+(|aj-bi|+bi-aj)≥0,

故对任意i,j∈{1,2,…,n},有

|ai-bj|+|aj-bi|≥|ai-aj|+|bi-bj|.

(1)

由式(1)可知，Tn≥‖S‖≥n.

由此可知，源题的结论也成立.此证明过程简洁明了，但因背景涉及到高等数学，故命题组给出了一个较为复杂的初等证明方法.

2 解法

1)当n=2时，不妨设a1

T2=|b2-a1|+|b2-a2|+|b1-a1|+|b1-a2|-|a2-a1|-|b2-b1|.

①当a1

②当a1>b1时，T2=b2-a2+a1-b1+|b1-a2|+b1-a2≥2.

2)假设当n时命题成立，即有Tn≥n；当n+1时，不妨设a1

(2)

①若存在k，使得bk

即式(2)成立.

②类似可证，当an+1

综上所述，式(2)成立，故Tn+1>n+1，即原不等式得证.

评注由于原问题是一个与正整数n有关的命题，故考虑用数学归纳法.证明过程条理清晰，但归纳过渡部分的分类讨论难度较高，给人以入手容易走出难之感.笔者从问题的代数特征出发，以关注整体、追求简易为目标作了探究，发现了一种较为简洁的证明方法.

证法2不妨设a1

3 探究

经过思考，得到如下结论：

结论1下界n是最优的.

结论2Tn不存在有限的上界.

证明1)由证法2可知，当a1

既然不存在有限的上界，那么能否找到一个可变的上界呢？也就是说能否找到一个关于n的表达式来做Tn的上界呢？经过探究得到结论：

证明考虑调整法[2].不妨设a1q,t=1,2,…,n-1)时，Tn取值为S，当ap=xt+1,bq=xt(其中p

(3)

考虑到a1

将上面4个式子代入式(3)可知

S*-S=4(p-q)(xt+1-xt)>0.

因此，若存在相邻的两项bp,aq满足p>q,ap>bq，则将ap,bq交换位置，可使得Tn增大.如此不断调整，直至对于任意的p>q，均有ap

a1

又因为ai≥b+i-1，bi≤a-n+i,所以

4 推广

对于原不等式，笔者还考虑了如下的结论：

证明不妨设对于任意i∈(1,2,…,n)，均有ai,1

下面考虑上式右边的最小值：

对于任意s∈{1,2,…,n}，将a1,s,a2,s,…,ak,s由小到大排序为b1,s

当bi,s=b1,s+i-1(其中i=1,2,…,k,s=1,2,…,n)时，取到等号.

5 感想

作为教师，在平时解题的过程中，当有探究、扩展意识，而对问题的探究和扩展应建立在对题目有着精确剖析的基础上.在剖析题目时，确立合适的目标是最为重要的因素之一.确定了恰当的目标，不仅可以使得解题的过程更加自然，而且还能够对问题从多角度展开探索，通过比较和鉴别，选出理想的方法，是实现简单自然解题的关键，也是探究数学奥秘的重要素质.