注重基础 突出通法 聚焦素养*——2018年浙江省高考数学试卷评析

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(学军中学，浙江 杭州 310012)

2018年是浙江省实施高考改革后的第二年，又是实行文理合卷的第二年，针对“2018年浙江省数学高考试卷的特点，命题有哪些不足，对高中数学教学有何导向”，笔者谈谈自己的认识，以求抛砖引玉．

1 命题的特点

试卷严格遵循《普通高中数学课程标准(2017年)》(以下简称《课程标准》)、《浙江省普通高中学科教学指导意见(数学)》及《2018年浙江省普通高考考试说明(数学)》，系统、全面地考查了高中数学的基础知识、基本技能、基本方法和基本数学思想．依然保持浙江数学试卷的鲜明特色，同时克服试题的模式化，难度较2017年有所下降，受到了考生、教师的普遍认同．有利于高校选拔人才，有利于引导高中数学教学，可谓“注重基础、突出通法、聚焦素养”，主要体现了以下3个特点：

1．1 层次分明，难度降低

充分考虑到文理合卷的特点，2018年命题依然采用2017年的命题策略——文科韵味、理科深度，与2017年试卷相比，再次增加了简单试题的数量，如选择题第1～4题和填空题第11～14题，这些题为课本练习题的难度，起点较低，只要仔细做，就能做对；选择题、填空题最后一题及最后两个解答题为全卷压轴，控制高分人数；设置中档题和分步设问，这些题接近课本习题或复习参考题难度，让基础薄弱的学生争取及格成为可能，同时使一些优秀学生脱颖而出．从阅卷信息反馈看，全省平均分比2017年提高了5分，但高分人数比2017年减少了，基本符合命题专家的预期．

1.2 突出通法，注重本质

数学教学总是从概念开始，由此引出定理、公式等相关运算，所得的解题方法即是所谓的“通性通法”，这是教学中首先应该强调的“一般法则”.2018年试卷充分考虑了解题方法的大众化与常规化，不在冷僻的技巧上设置问题，努力贴近学生，在通性通法上下功夫，试题熟悉而不脱俗，材料背景熟悉，设问方式常规，解题方法基本，凸显数学本质，在考基础、通性、通法上体现得淋漓尽致.

例1已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

(2018年浙江省数学高考试题第8题)

此题将空间3个角植入特定的四棱锥中，比较3个角的大小，解答此题只需线线角、线面角、面面角的概念清晰，作出3个角，转化为比较3个角正切值的大小，便可得出结论．

试卷对函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想等进行了全面的考查.试题呈现“简约而不简单”，入口宽，解题途径比较多.选择的切入点不同，解题过程的简捷程度也不同，可以检测不同层次学生的思维水平．如：

( )

(2018年浙江省数学高考试题第9题)

图1

点评本题考查平面向量的数量积、模等基本知识及数形结合思想、转化思想．解法1比较容易想到，但有一定的运算量，解法2比较简洁．这两种解法都把原问题转化为射线上的点与圆上的点的距离的最小值问题．

1.3 创新设计，聚焦素养

数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力．数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．

试卷对基础知识、基本方法考查的同时，突出对数学核心素养的考查．试卷充分体现以知识为载体、方法为依托、能力为导向的命题特点，突显试题的选拔功能．如：

图2

例3如图2，已知点P是y轴的左侧(不含y轴)一点，抛物线C:y2=4x上存在两个不同的点A,B满足PA,PB的中点均在C上．

1)设AB的中点为M,证明:PM⊥y轴；

(2018年浙江省数学高考试题第21题)

本题考查抛物线、椭圆的简单几何性质及解析几何的基本思想方法和直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，避开了平时学生大量操练的“联立直线与圆锥曲线方程，然后进行消元”的解题模式．

1)若f(x)在x=x1,x=x2(其中x1≠x2)处的导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8-8ln 2；

2)若a≤3-4ln 2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一的公共点．

(2018年浙江省数学高考试题第22题)

此题是以人教A版教材《数学(必修1)》第88页的例1“求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数”为蓝本改编而来，命题组给出的第2)小题的解答与课本的此例方法是相同的，从而体现了“题在书外，根在书中”．

第1)小题与以下例5属于相关题：

例5已知函数f(x)=x2+aln(x+2)存在两个极值点x1,x2.

1)求实数a的取值范围；

2)记S=f(x1)+f(x2)，求S的取值范围．

第2)小题与以下例6属于相关题：

1)求f(x)的单调区间和极值；

(2015年北京市数学高考文科试题第19题)

例4中两个小题的解答与上述两个相关题的解答也相似．

试卷改变前3年以数列不等式作为压轴题，函数与导数重返压轴题位置，此题设计的函数有唯一的驻点(4,2-2ln 2)与拐点(16,4-4ln 2).命题组通过挖掘几何性质精心设计问题，体现了导数的基本运用，考查了学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，及直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．

命题组给出本题的参考答案为：第1)小题将f(x1)+f(x2)表示为关于x1x2的函数，利用已知条件及基本不等式确定x1x2的取值范围，从而解决问题；第2)小题先构造符号相反的函数值，再运用函数零点存在定理证明零点的存在性，然后运用函数的单调性证明零点的唯一性．构造符号相反的函数值，学生很难想到，实质是极限思想下的构造．

限于篇幅，本文仅给出例4的另外一种解法．

从而g(x)为减函数.因此

即

f(x1)+f(x2)>8-8ln 2．

f(x)-kx=a.

记F(x)=f(x)-kx，则

当x→0+时，F(x)→+∞；当x→+∞时，F(x)→-∞．

故

从而h(x)单调递减，于是

h(x)>h(16)=3-4ln 2,

即

F(α)>3-4ln 2≥a,

亦即

F(α)>a,

故方程F(x)=a必有唯一的实数解，即直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一的公共点．

点评第1)小题的参考答案选择t=x1x2为自变量，需运用基本不等式，而笔者所给出的解法选择m为自变量，回避了基本不等式；第2)小题的参考答案分离参数k，而笔者所给出的证法分离参数a，利用极值解决问题，入手比较容易．

2 试卷的不足

试卷第18题第2)小题考查配角法；第20题第2)小题考查错位相减法，配角法与错位相减法都属于解题技巧，“是否属于中学数学的基本方法、是否应该作为重点考查”有待商榷.

从阅卷结果看，中档学生的数学水平拉不开档次，原因是中档题目偏少了些，低档题目偏多了些，低、中、高档题需要合理配置．

3 对教学的启示

文理合卷后，命题的风格发生了改变，我们的教学也应作相应的改变．

在新授课教学中，研究《课程标准》，基于《课程标准》，立足教材，重视教材的使用，揭示概念的发生、发展过程，建构数学概念，理解数学本质，突出思维能力和运算能力的培养．

在复习课教学中，把课本上的知识、方法重组与概括，揭示其内在联系与规律，形成网络，克服盲目做题、重复操练，训练学生思维的深刻性和批判性，培养独立思考能力．这样才能把基础知识、基本技能、基本思想方法落到实处．

学习数学，除了获取必要的数学知识和掌握必要的数学技能之外，更重要的是获得基本的数学素养.为培养学生的数学核心素养，教师要了解学生核心素养的习得规律．在教学过程中，培养学生对问题一种分析的态度、一种探究的目光，对课堂上的某些问题适当加以延伸、推广等，并引导学生加以解决，使学生的数学关键能力和学习力获得提升，实现有意义的深度学习．