以极限和连续的概念为例浅谈高职数学的教学技巧

曾大恒　刘淑贞

摘要：极限与连续是微积分最为基础的概念，也是高等数学必教必学的内容之一。对于高职学生来说，如果按照本科层次的教学方法开展教学，往往使原本枯燥和抽象的高等数学知识更加难于理解和掌握。如何针对高职学生特点和课程定位生动讲解高等数学的基本概念，笔者从自身教学实践出发，以极限和连续的概念为例，提供了可供参考的教学方法和技巧，对高职数学的教学具有一定指导作用。

关键词：高职数学；极限与连续；教学技巧

中图分类号：G718.5 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）29-0168-03

一、无需过于追求数学的逻辑性与严谨性

高职院校的数学教师大多从本科院校毕业且具有硕士以上的学历学位，在开展高职数学教学过程中，许多教师往往从自身所学专业出发，跳不出教材，跳不出数学的逻辑性和严谨性，习慣于按照传统的方式进行传授。例如，在讲述“函数极限的概念”时，总喜欢用“ε-δ”语言来描述函数极限的定义；在讲述 “函数连续的概念”时，总离不开先讲连续的“第一定义”再过渡到连续的“第二定义”。

高职教育以培养应用型人才为目标。在高职工科类的专业人才培养方案中，《高等数学》仅是一门公共基础课和素质教育课，课程开设时量一般不超过职业素养课程（公共基础课和素质教育课）总学时的1/6，开设《高等数学》的主要目的是为后续专业课程的学习奠定一定的数学基础，同时也为培养学生综合素质发挥一定的作用。根据高职人才的培养目标、《高等数学》在人才培养中的定位以及课程的教学时量安排，决定了该课程的教学应当遵循“以应用为目的、理论适度够用”的原则，要求教师必须打破传统的学科教学模式，教学中无需过多地强调知识的系统性、逻辑的合理性和思维的严谨性。

同时，受国内高考制度的影响，高职院校总是排在高考最后一批录取，达到或超过本科录取分数的考生很少愿意选择填报高职院校。教学中发现，高职学生的文化基础（尤其是数学基础）普遍较弱，学习能力、学习兴趣、学习习惯等综合素质可见一斑。对于很多抽象的数学概念，如果按照传统的教学方法讲授，教师讲得神采飞扬，绝大多数学生往往黯然神伤，上课打瞌睡或干其他事情的现象比比皆是，上课气氛经常十分沉闷，久而久之，学生总会感觉高等数学特别难学，对数学的学习越来越没有信心，教学效果可想而知。如何让高职院校的课堂成为有效课堂，如何让高职院校的学生学中有乐、学有所获，迫切需要高职院校的教师结合学生特点，打破传统模式，创新教学方法，转变教学观念。

二、高职数学的教学技巧

（一）灵活运用类比教学法，将复杂内容条理化

把两个属性相近或类似的教学内容对照进行分析、理解，使复杂的概念变得条理清晰、简单易懂，这种方法称为类比教学法。类比教学法对于引发学生的学习动机、帮助学生理解抽象概念、发展学生的求异性思维以及培养学生学习的主动性具有重要意义。以函数极限的概念为例：

根据自变量的不同变化趋势，函数y=f（x）的极限分为两种情形：x→∞和x→x■。在x→∞的情形中，存在自变量趋于负无穷大和自变量趋于正无穷大两种情形；在x→x■的情形中，同样存在自变量从左边趋向于

x■（即x→x■■）和从右边趋向于x■（即x→x■■）两种情形。运用类比教学法，很容易厘清这一复杂概念。

讲解时，可列举三个不同函数：（1）y=arctanx；（2）y=arccotx；（3）y=■；分别作出它们的图形，通过观察图像，不难得出：要使■f（x）存在，当且仅当■f（x）和■f（x）均存在且相等，即■f（x）=A，■f（x）=B且A=B。

有了对函数y=f（x）在x→∞时极限概念的理解，讲函数y=f（x）当x→x■时的极限概念时，可以把x→x■■与x→-∞、x→x■■与x→+∞、x→x■与x→∞分别加以对照，通过举例、作图、观察等手段不难得出：■f（x）存在的充要条件是■f（x）和■f（x）均存在且相等，即■f（x）=A，■f（x）=B且A=B。

（二）充分发挥图形的作用，将抽象内容直观化

数学本身就是一门研究“数形关系”的学问。大家知道，几何离不开图形，其实代数和图形也同样是分不开的。教学中充分发挥图形的作用，经常会使抽象的问题变得尤为直观、简单。以函数连续的概念为例：

我们借助函数图形，很容易直接观察出“不连续函数”的特点，然后进行原因分析，用数学语言描述：

图1中，函数图像在x■处不连续。原因分析：函数的极限值存在，函数值不存在；

图2中，函数图像在x■处不连续。原因分析：函数的极限值存在，函数值也存在，但极限值和函数值不相等；

图3中，函数图像在x■处不连续。原因分析：其函数值存在，但极限值不存在（左极限存在，右极限存在，左右极限不相等）。

由此直接得出结论：要使函数在x■处连续，必须同时满足以下三个条件：（1）函数在x■及其附近有定义，即f（x■）存在；（2）函数在x■处极限存在，即■f（x）存在；（3）函数在x■处的极限等于函数在x■处的函数值，即■f（x）=f（x■）。以上通过发挥函数图形的作用，非常清楚直观地讲解了函数连续的要点。

数学知识的抽象性、复杂性和特殊性，是造成高职学生难理解、难接受、难内化的原因之一。利用图形的直观性帮助学生学习数学，可以把很多数学知识化难为易、化抽象为具体，使学生恍然大悟，豁然贯通。一个好的数学教师教学经常是尺不离手，图文并茂，作图标准，信手拈来。因此，作为起主导作用的数学教师，应时刻渗透用图形教学的理念，随时展示图形语言的优越性，体现图形语言的价值所在。

（三）生动运用比喻教学法，将枯燥内容形象化

比喻是用相似的事物打比方的一种修辞手法。被比方的事物叫“本体”，用来打比方的事物叫“喻体”，比喻就是用“喻体”来映射“本体”，其目的在于将事物表达得更生动形象。

课堂上，利用形象贴切的比喻开展教学，经常能使枯燥难懂的数学知识变得丰富多彩、生动有趣，从而增强学生的自信心，激活学生的学习热情。

例如，如何理解什么是初等函数——由基本初等函数经过有限次复合或者有限次四则运算并用一个表达式表达的函数——这一概念。可以设想用“厨师炒菜”作比喻：将“六种基本初等函数”比作是“需要加工的原材料”，把“有限次复合或有限次四则运算”比作是“烹、煎、煮、炸”的加工過程，“用一个表达式表达”好比是“用一个盘子”装着，“端出的这道菜”就是“初等函数”。

又如，什么是“连续”？首先可以告诉学生，通俗地说“连续”就是“连绵不断”的意思。然后用一个比喻形象说明：我们从小都见过大人们织毛衣，用到的毛线如果是“连续”的，就可以将这根毛线从头织到尾；如果这根毛线在中间某一点（x■，y■）上被虫子咬断且吃掉了（如图1），毛线是“不连续”的；被虫子咬断后没有吃掉而是落在（x■，y■）的下方（如图2），毛线也是“不连续”的；毛线被虫子咬断并且将咬断后的线头搬动了一个位置（如图3），毛线更是“不连续”的。一个比喻，三种情形，一目了然。

再如，在理解“函数y=f（x）在x■处的极限与函数在x■处是否有定义之间的关系”时，可以设想教室入口的墙壁是北纬30°，现有一只蚂蚁沿着与墙垂直的线路向墙壁移动，当蚂蚁慢慢靠近墙壁时，我们说蚂蚁会越来越接近北纬30°（即以北纬30°为极限）。现假如门口的这堵墙被拆掉了，蚂蚁仍沿着同样的线路移动，当蚂蚁越来越靠近墙壁原来所处的位置时，还是会以北纬30°为极限。也就是说，当蚂蚁向门口墙壁移动时，蚂蚁移动的极限值（北纬30°）与墙壁是否存在是没有直接关系的。

现实教学中，比喻的例子很多。实践证明，比喻教学法不失为一种好用的教学方法。凡是比喻教学法使用恰当的地方，学生就掌握得好。因此，需要我们数学教师在备课过程中善于思考、善于总结，才能把书本上很多枯燥难学的概念、知识做出恰当的比喻，使其与生活中的事物联系起来，从而使它们变得生动形象，易于理解，易于接受。

学无定式，教无常法。作为高职教师的教学，要得到良好的教学效果，教师不但要具有丰富和渊博的专业知识，更要有一套行之有效的教学方法和技巧，就二者来说，后者更为重要。

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