核心素养理念下的数学教学设计

王冬晴　张荣延

摘 要：新一轮的高中数学课程标准修订中，数学核心素养占据了重要地位，因此数学核心素养应贯穿于教学中的各个环节.文章在“方程的根与函数的零点”的教学设计中，以方程思想与函数思想相互转化为指导，将数学核心素养的培养渗透到课堂教学中.

关键词：核心素养；方程的根；零点存在性定理；教学设计

《普通高中数学课程标准》中指出数学核心素养分为六个方面：数学抽象、数学运算、数学推理、数学建模、数据处理、空间想象.在数学课堂教学中，培养学生的数学核心素养需要教师精心设计每个教学环节，笔者以“方程的根与函数的零点”为例，浅析核心素养理念下的数学教学设计方法.

一、教学设计思路

本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与方程的根的关系、零点存在性定理.函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程联系在一起，本节课教学重点为零点的概念，体会函数零点与方程的根之间的联系；教学难点为对零点存在性定理的理解与应用.学习本节课为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习奠定基础.

本节课的设计思路是：1）从HPM的视角引入新课，引导学生在函数与方程之间建立联系.在这一过程中，可以培养学生数学逻辑推理能力.2）从特殊到一般，引导学生自己得出函数零点概念、方程的根和函数图象与x轴交点横坐标之间的关系，在该环节中，可以培养学生数学抽象能力和直观想象能力.3）根据函数图象探究满足什么条件，函数存在零点.此处应培养学生形成数学抽象素养.4）学生归纳出零点存在性定理后，教师引领学生实际操练，应用零点存在性定理解决问题，使学生学以致用、巩固新知，同时为下节“二分法”这一数学运算奠定基础.

二、教学过程设计

教学基本流程：问题导入 建构零点概念 探究零点存在性定理 应用零点存在性定理 课后作业.

1.问题导入

问题1 求下列方程的根

1）

2）

3）

第1）小题 ，后面两个小题不会.此时，老师引导学生，引用1824年挪威天才数学家阿贝尔成功的证明了五次及以上的方程没有根式解这一数学史，将此过程巧妙过渡到本节课课题.接下来阐述现如今，高次方程求解方法有很多，今天我们探讨其中的一个方法，从函数图象角度来研究方程的根.

设计意图 从HPM的视角来设计教学，激发学生的学习兴趣，同时，在教学过程中潜移默化的丰富学生数学文化知识，同时引出本节课的研究内容，在方程无法求解的情形下，如何判断根的情况.

2.建构零点概念

问题2 写出函数 的图象与x轴交点的坐标.

设计意图 通过数形结合引导学生主动探究方程的根与函数图象间的关系从数与形的角度方程的根在对应的函数中所具有的多重意义.在这一环节中，该函数图象不要求学生画出，应用学生已有的知识结构想象出函数图象的具体形式，以培养学生的直观想象素养.

零点概念：对于函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点.

练习1 判断下列函数是否存在零点？

1）

2）

3）

问题3一般方程的根和其对应的函数零点之间有怎样的关系？

方程的根与函数零点的等价关系 方程有实数根等价于函数 有零点，等价于函数 的图象与x轴有交点.

设计意图 由于函数的零点是新概念，所以为了避免学生与方程的根以及几何概念中的点混淆，明晰三者之间的相互转化关系.虽然它们有各自不同的特性，但反映的却是共同的本质.在这一环节中培养学生的抽象概括能力.

3.探究零点存在性定理

问题4 满足什么条件，函数存在零点呢？

先解决这样一个问题，已知函数 在区间[-2，1]、[2，4]内有零点，计算 观察乘积有什么特点.

设计意图 在此环节中需要观察图象，在区间[-2，1]内，

和 一个在x轴上方，一个在x轴下方，区间端点值异号，并且图象连续不断的穿过x轴，图象就与x轴有交点，所以函数

在区间（-2，1）内有零点.同样的，在区间[2，4]内 和 一个在x轴上方，一个在x轴下方，区间端点值异号，并且图象连续不断的穿过轴，图象就与x轴有交点，所以函数在区间（2，4）内有零点.在这一环节中培养学生数学运算能力，抽象概括地归纳出函数存在零点的条件.

零点存在性定理 如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个c就是方程

的 根.

练习2 判断下列说法，若否定，则举出反例.

1）如果函数 在区间 上连续的，那么函数

在该区间上一定有零点吗？

2）如果函数 在区间 上满足条件 ，

那么函数 在该区间上一定有零点吗？

3）如果函数 在区间 内有零点，那么该函数一定满足 的条件吗？

设计意图 这三个问题有助于学生理解零点存在性定理的本质，明确定理中充分不必要的条件，有助于培养学生直观想象与数学抽象的核心素养.

4.应用零点存在性定理

例1 1）判断方程 根的个数.

2）若该方程的一个跟在 区间内，求出正整数

设计意图 此例题解决了问题导入中遗留的问题，这一例题的解决进一步促进学生体会函数思想与方程思想的转化，有助于培养学生的数学运算能力，同时为下节课“二分法”做了铺垫.

5.课后作业

练习3 判断方程 有几个根？每个根所在的区间 内，求 的值.

设计意图 本题让学生应用零点存在性定理解决方程根的问题，进而培养学生较强的逻辑推理能力.

三、教学反思

本节课的设计有三个指导思想，分别是：方程与函数的转化思想；作为下一节课的起始课；处理好数学抽象与直观想象的关系.正如史宁中教授所指出的“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象”.只有抽象的东西获得具体事例的支持，实现从思维的抽象发展到思维的具体，在思维中再现整体性和具体性，才能深入认识新概念新思想.掌握数学发展的基本规律，让学生亲身体会思维过程，必然会深刻影响其数学核心素养的形成与发展.

参考文献

[1]喻平.发展学生学科核心素养的教学目标与策略[J].课程·教材·教法，2017，37（1）：48-53.

[2]史寧中.数学的基本思想[J].数学通报，2011，50（1）：1-9.

[3]章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程·教材·教法，2016，36（7）：44-49.