浅谈大学非数学专业的微积分教学

曹广福

摘 要：本文以国内外两本经典教材为例，阐述了非数学专业数学教材以及课堂教学应该注意的一些问题，指出非数学专业的微积分教学同样需要体现其思想性，探讨了如何在数学的理论性与实用性之间找到平衡。文章认为，将数学建模思想与数学文化融入数学课堂教学中是必要的。

关键词：微积分；课堂教学；数学思想

一、引言

微积分是大学里很多专业的必修课。国内使用最多的微积分教材是同济大学主编的《高等数学》[1]，该教材经过若干次修订，在内容的深度与广度方面都有所加强。该教材与西方教材存在着显著的差别。以Steward的《微积分》[2]

为例，这套教材之所以获得巨大成功，以致占领了北美大学微积分教材70%以上的市场，与该教材通俗易懂且具有浓郁的应用色彩不无关系。然而，作为一本取得巨大成功的教材，为什么国内很少采用它作为大学本科非数学专业的微积分教材？它有什么值得我们借鉴的地方？我国微积分教材以及微积分教学有什么可改进之处？这正是本文要探讨的问题。

二、教什么样的数学

很多教师认为，对于非数学专业的学生而言，会计算导数与积分、能简单地应用它们解决问题就够了，这种观点深刻地反映在微积分课堂教学中。非数学专业的大学生该学什么样的数学？教师该教什么样的数学？或者准确点说，学生该如何学数学？教师该如何教数学？这涉及我们需要培养什么样的大学生的问题。

数学是一切科学的基础，这个基础不仅反映在学生将来能将课堂上学到的数学知识依样画葫芦地运用到工作中，更重要的是能灵活运用数学思想与方法解决问题。对于创新型人才而言，最重要的能力不是掌握已经被人熟知的数学应用方法，而是发现未知的运用数学解决问题的方法。從这个意义上说，掌握数学的思想方法比掌握数学的实际应用更重要，前者属于更高境界的数学。从这个意义上来看，Steward的《微积分》并不是无可挑剔，该书对于数学在各个领域应用的介绍可谓酣畅淋漓，但或许出于浅显易懂的缘故，对于微积分内在的思想与方法论的阐释则稍嫌欠缺。该教材的内容对于大多数非数学专业大学生也许够了，但对于相当一部分希望将来在科学研究上有所造就的学生来说显然有些肤浅。该教材的另一个弱点是内容过于庞杂，很难在现有的课时内完成全部内容的教学。上述两个原因或许正是我国大学很少采用该教材的原因，但瑕不掩瑜，它的确是一本难得的优秀的微积分教材。

我们需要教什么样的数学？这个问题并不难回答，简而言之：教有用的数学！问题在于什么是有用的数学？知识本身无所谓有用与无用。学习者会用，知识对于他就是有用的；学习者不会用，知识对于他就是无用的。

有人认为，能解决实际问题的数学就是有用的数学。能解决实际问题的数学固然是有用的，但这远远不是有用数学的全部，甚至不是数学最重要的部分。数学是一门思维科学，它不仅与自然科学、社会科学密切相关，同时还属于哲学范畴。换句话说，她教给我们的是一种思考问题、解决问题的方法。

大自然的神秘面纱远远没有为人类所完全揭开。数学方法无疑是了解大自然必不可少的重要手段。没有数学，人类将无法真正了解大自然。面对神秘莫测的大自然，不仅现有的数学工具远远不够，即使是已有的数学工具，我们也还远远没有弄清楚到底哪些有用，哪些没有用。特别是最近一个世纪以来，数学、自然科学发展是如此迅速，已经使科学家们没有能力同时兼顾数学与自然科学，也就是说，数学已经逐渐远离了自然科学而独立发展了。正因为如此，人们并不清楚现代数学与自然科学之间到底有什么关系，换句话说，如今的数学对于自然科学到底有没有用。

历史上，数学与自然科学殊途同归的例子并不罕见，泛函分析的发展与量子力学的发展就是典型的例证。

出现这种有趣的现象并不奇怪，因为数学与自然科学在方法论上是相通的。由此可见，数学的“有用”体现在两个方面：一是科学的思维方法；二是自然科学在现实生活中的应用。从某种意义上说，前者更重要，因为科学的思维方法是了解未知的钥匙。

教材内容增加什么、减少什么并不是最重要的，重要的是老师在课堂上做什么。遗憾的是，虽然我们有督导过程、有学生评价环节，但实际的教学过程是否体现了数学的思想性似乎无人关注，也难以量化。很多时候，我们的教学改革与教学过程犹如两列互不干扰的并行火车。

当我们走进现在的数学课堂，再回顾20年前的数学课堂，不仅发现实质性变化不大，甚至有种今不如昔的感慨。大部分课堂教学仍然过于注重数学技巧与细节，对数学知识中蕴藏着的数学思想往往视而不见或忽略不计。这些技巧与细节对于提高学生的解题能力的确发挥了重要作用，问题是，这些技巧有用吗？它对于学生日后的工作与生活很重要吗？如果这些东西对他们日后的工作与生活无足轻重，他们为什么要学习这些东西呢？

因此，如何提高学生学习数学的兴趣，学一点真正可以学以致用的东西，才是有意义和有价值的。

微积分作为数学史上最伟大的发明创造，距今已有900年的历史。与现代很多数学不同的是，微积分的产生与自然科学直接相关。众所周知，微积分源于四类基本问题：面积问题、速度与路程问题、光学与切线问题、最大最小值问题。教师在课堂上虽然也会提及这些问题，但关注的重点却不是解决这些问题的思想方法，而是数学概念与原理本身，或者说过于关注解题的技巧，教了很多无用的技巧，学生“满腹经纶”，却没有将满腹的知识转化成内在的能力，面对工作中出现的各种实际问题束手无策，更不用说创新了。

可见，教育的关键在于教师怎么理解教材，如何恰当地使用教材。教学不应只是传授知识，更应重视培养学生思维能力和灵活运用知识的能力。而数学思维能力及运用能力的培养则依赖于对数学的兴趣，这种兴趣来自哪里？既来自对数学的了解，更来自数学的审美能力。

数学的美概括起来大致有这样几个方面：

（1）简单性；（2）对称性；（3）奇异性；（4）统

一性；（5）抽象性；（6）哲理性；（7）趣味性。

数学之美如同数学思想一样被隐含在书本中，学生从教材里是很难看到的，老师的任务就是要挖掘掩藏在书本知识背后的思想与美丽并展现给学生。一个精彩的课堂，其结构、形式以及教师的机智都可以散发出数学美的光芒。当学生离开学校，不再学习数学，数学教育留给他的应该是：学会用数学的眼光去观察问题，用数学的头脑去思考问题，会鉴赏数学之美，具备数学的思维方法以及自主自发地在工作乃至生活中运用。只有这样，学生才算是真正学到了有用的数学。

回到微积分教学。微积分是大学非数学专业最重要的数学课程，教学课时多，涉及面广。目前理工科微积分教学忽略了两个问题：一是忽略了与中学阶段所学知识的衔接，二是忽略了知识的实际背景。还是让我们从函数谈起。

现在高中阶段学生就开始学函数概念、微积分基础知识，但学得有点不伦不类。如果是在过去绝大多数中学生没有机会上大学的情况下，让中学生们了解一点微积分思想是可以理解的，可如今的中学生相当一部分都要进入大学，换句话说，还得重学微积分。以目前中学教材及教师的实际情况而论，中学生真的能理解并掌握微积分所蕴含的深刻思想吗？

大学的微积分教学注意到这个问题没有？翻开微积分教材，你会看到和几十年前相比基本没什么变化。函数是微积分的基本研究对象，要讲微积分自然少不了函数。问题是该如何处理它们？我觉得函数需要介绍，但不宜像以往那样将过多的精力放在各种函数性质的详细阐述上，因为中学阶段对各种初等函数已经有过比较详细的介绍。有些人认为函数部分可以一带而过，我不这么看。其一，学生在中学阶段学的函数同样不成体系，很多重要概念并没有介绍。其二，学生除了知道抽象的函数概念，大概谁也说不清函数到底可以用来干什么，大学老师无异于在帮中学教师炒夹生饭。笔者认为，函数理论的介绍不能是中学内容的重复，而应该是其补充与深化。

学生对初等函数早已熟悉，教师倘若再纠缠于细节性问题，学生肯定会觉得乏味，但初等函数是微积分研究的最重要对象，所有的计算都是针对初等函数进行的，忽略过去显然是不妥的。问题在于怎么讲？建立模型的目的有两个：一是利用模型解释现实世界中的某种现象，二是利用模型对被研究的对象作预测。由此可见建立数学模型的重要性。那么，如何根据实际问题建立数学模型呢？通常有以下几步：

（1）根据实际问题选择适当的自变量和因变量。这是十分关键的一步，既要考虑到模型能反映客观现实，又要考虑到数学处理的方便。换句话说，我们需要作一些折中。因变量的确定是比较简单的，往往根据我们要解决的问题即可确定。但自变量的确定就不那么简单了，应将影响某种现象的最本质的因素确定为自变量。也就是说，这样的量足以左右某种现象的变化。

（2）建立适当的函数关系。建立函数关系有两种办法：一是根据某种现象的规律来建立，如天体的运动遵循牛顿定律，经济市场的各种现象通常遵循经济规律等。二是采集数据再作数据处理，从中发现规律。通过将数据描点，就可以得到函数的图像表示，比如一些统计图表就是这样得到的。

（3）利用数学知识或工具对模型作分析，给出该数学问题的解答。微积分就是要告诉我们如何分析这些数学模型。

（4）根据对数学问题的解答，作出实际问题的客观解释。如果一个模型不仅能解释某种客观现象，还能对这种客观现象的未来作出比较准确的预测，这就是一个非常成功的模型了。

在介绍数学模型后，可以侧重介绍各种初等函数通常在什么样的实际问题中出现。如果从这样的角度来讲述函数，不仅可以帮助学生复习了中学阶段学习过的函数概念，更重要的是学生能够知道函数不仅仅是抽象的符号与演算。

三、微积分教材及教学可以做哪些改进

中美教材相比各有千秋。我国的微积分教材理论性偏强，美国的教材实用性偏强。数学教育历来有两种不同的观点：一种观点是提倡數学化，数学课堂应该强调数学自身的理论，可以不必过多考虑应用性。持这种观点者的理论依据是：数学作为一门思维科学，它的教育功能是培养学生的思维能力，具有相当广泛的普适性。另一种观点认为，数学教育应该注重数学的实用性，尤其对于非数学专业的学生更应如此。这种观点的依据是：非数学专业学生学习数学的目的是为了用数学，他们只要知道怎么应用数学就够了。这两种观点都有失偏颇。就微积分而言，它产生于自然科学，然而处理问题的方式又是纯数学化的，单纯地强调数学理论或数学应用都是片面的，应该在尊重历史的基础上两者兼顾。此外，数学的理论性与思想性是不同的概念，理论化程度高不表示思想性高。所以，微积分教材可以从以下几个方面进行改进：

（1）强化思想性。微积分的思想不仅对于解决实际问题具有举足轻重的意义（如在应力分析中，往往局部地用切平面取代目标曲面），它对现代数学的影响也是深远的。例如，局部“以直代曲”的思想不仅对于微分几何、拓扑产生了重大影响（如切丛的概念、向量丛的概念都与此有关），也影响了代数（如李群的李代数、导子等）。教材与教师的课堂教学应该充分展示微积分的这一精髓。

微分与积分的辩证思想体现在数学的众多分支中，也许是这种思想理论性较强的缘故，微积分教材通常避而不谈。函数的连续性也蕴含着深刻的数学思想，特别是闭区间上连续函数的性质，一般的高等数学教材只介绍结论，不讲证明。笔者不主张详细讲解这些定理的证明，但闭区间所反映出的重要思想应该对学生有所交代，况且这一思想并不难理解。

（2）适当强化应用性。在这个方面，Steward的《微积分》是一个很好的范本。这或许是它获得成功的一个主要因素，它从一个方面说明应用性是多么受欢迎。强调应用性，并不意味着弱化教材的思想性，而是微积分思想在自然科学与社会实际问题中的延伸。如果能借鉴Steward编写方式，适当将微积分在自然科学中的各种应用贯穿于教材的始终，不仅可以增加教材的趣味性与可读性，也可以为读者运用微积分提供一些范例与练习的机会。

（3）强化现代化技术的运用。微积分涉及许多计算，适当介绍一些数学软件与数学机械化方法不无益处。例如，在运用连续函数介值定理求方程根时，完全可以引入机械化方法，因为求方程根过程本身就是一个程式化过程。又如，牛顿切线法也是一个程式化过程，通过这两种求根方法的机械化过程，还可以直观比较二分法与牛顿切线法运用于具有凹凸性的单调函数时的优劣。

在微积分教学中，最困难的计算非积分莫属，然而借助数学软件计算积分已经不是难事。所以，微积分教材完全没有必要在积分计算环节花费太多的篇幅，教师的课堂教学似乎也没有必要过分强调积分技巧的训练，适当介绍基本的积分方法就可以了。

四、学生是否需要掌握严格的极限语言

很多微积分教材都不介绍极限的δ-ε语言，这可能缘于该语言有些抽象，比较难以掌握。很多数学专业的学生在学完δ-ε语言后也是一知半解，直至多年后才理解其真正的内涵。国内外要求较高的微积分教材（如同济大学编写的《高等数学》）有所介绍，但仅限于初步

了解。

那么，作为非数学专业的大学生有没有必要了解甚至掌握极限的δ-ε语言？要说清楚这个问题，首先需要弄清楚极限的δ-ε语言在微积分中发挥的作用。的确，直观的极限概念并不难理解，学生不学习极限的δ-ε语言对于计算导数、积分并不会带来太大的影响，也不妨碍对微积分概念的理解。然而，直观的极限描述并非严格的数学语言，它无法参与数学论证， δ-ε语言是微积分的基本语言，说一个不懂δ-ε语言的人懂微积分是不可想象的。当年牛顿之所以遭到贝克莱大主教的质疑并引发历史上著名的第二次数学危机，正是因为微积分缺少一个严格的科學语言，人们以形式逻辑来理解微积分从而导致危机的产生，直到柯西将极限概念严格化，也就是用今天所说的δ-ε语言定义极限，才使得争论烟消云散。由此可见δ-ε语言对于微积分的重要性。

δ-ε语言的确有一定的抽象性，但不能因为抽象就避而不谈。事实上，只要方式得当，学生并非不能掌握δ-ε语言。这种语言的基本思想即使在日常生活中也是常见的，它现实的模型就是在一定精度范围内的误差估计。例如要制造一个给定体积的球形产品，使得体积误差不能超过一定的范围，工人如何判断误差有没有超过给定的精度？显然是通过卡尺测量球的直径，只要直径的误差在适当范围内，就能保证体积的误差在给定的误差范围内。如果从现实问题出发逐步引入δ-ε语言，而不是简单地给出一连串的数值检验，学生是不难理解这种特殊的语言的。即使是一个基础一般的普通学生，也不难理解生活中的这类误差估计，问题在于当教师从现实问题出发概括抽象出严格的δ-ε语言时，学生往往很难逾越从现实到数学的抽象障碍。但只要从实际的问题情景出发，让学生逐步感知、概括，最终是不难抽象出δ-ε语言的。不过作为非数学专业的大学生，确实没有必要作过多的极限证明，掌握δ-ε语言的本质就足够。

大学数学教学改革绝不仅仅是内容体系、难易程度的改革，而是要通过这种改革提高学生的数学眼界与素养。从这个意义上来说，将数学建模思想、数学文化融入数学课堂教学中是必要的。

参考文献：

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] James Steward.微积分[M].北京：高等教育出版社，2004.

[责任编辑：夏鲁惠]