浅谈三角函数中最值的求法

摘 要：三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何、导数之间的联系，培养学生的思维能力。

关键词：三角函数；最值；思维能力

一、 运用三角函数的有界性求最值

因为三角函数的有界性如|sinx|≤1，|cosx|≤1，因此我们可以运用三角函数的各类公式先将给定的函数进行化简，然后根据有界性求出最值。

【例1】 求f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R的最大值。（03年全国高考题数学理科）

解：f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1-2cos2x+π4

∵cos2x+π4max=1

∴f（x）min=1-2

∵cos2x+π4min=-1

∴f（x）max=1+2

上例中，x∈R，如果限定x的取值范围，则最值又将改变。

【例2】 已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，|x|≤π4，求f（x）的最值。

解：f（x）=1-cos2x2+sin2x+3（1+cos2x）2=sin2x+cos2x+2=2sin2x+π4+2

∵|x|≤π4即-π4≤x≤π4

∴-π4≤2x+π4≤3π4

∴sin2x+π4min=-22

∴f（x）min=1

∴sin2x+π4max=1

∴f（x）max=2+2

二、 三角函數和二元函数复合求最值

二元函数求最值通常使用配方法，然后三角函数的有界性数形结合求最值。

【例3】 已知k<-4，求函数y=cos2x+k（cosx-1）的最值。

解：y=2cos2x-1+k（cosx-1）

=2cos2x+kcosx-k-1

=2cosx+k42-k-1-k28

∵k<-4

∴k4<-1

∴-k4>1

当cosx=-1时，ymax=1-2k；当cosx=1时，ymin=1

当x∈R时，函数sinx，cosx的值域为[-1，1]，如果限定x的取值范围，则最值又将改变。

【例4】 若|x|≤π4，求函数y=cos2x+sinx的最值。

解：y=1-sin2x+sinx

=-（sin2x-sinx）+1

=-sinx-122+1+14

=-sinx-122+54

∵|x|≤π4即-π4≤x≤π4

∴-22≤sinx≤22

当sinx=-22时，ymin=12-22；当sinx=12时，ymax=54。

三、 利用数形结合的方法求最值

将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，把代数的问题等价性的用几何的方法来求解，使之求解更简单、快捷，也是解决最值问题的一种常用方法。

【例5】 求函数y=sinx+1cosx-2的最值。

分析：求y的最值就是求单位圆上任意一点（cosx，sinx）与点P（2，-1）连线的斜率的最值。如图所示：过点（2，-1）作单位圆的两切线PA、PB（A，B为切点），所以原式的最小值是-43；最大值是0。

四、 运用导数求三角函数的最值

在初等数学中，有许多问题，一则步骤冗长，二则解法独特，按照纯初等数学的方法去求解，难度较大。若我们借助于导数去求解，则可以带给我们一种全新的感觉。

【例6】 求函数y=cos2x+2cos2x的最小值。

解：令cos2x=t，则y=t+2t（0

∵y′=1-1t2=t2-2t2<0

∴y=t+2t在（0，1]上是减函数

∴当t=1时，ymin=1+2=3

【例7】 求函数y=43cos3x-cosx，x∈（0，π）的最值。

解：∵y′=4cos2x（-sinx）+sinx=（-sinx）（4cos2x-1）（0

令y′=0，得驻点x1=π3，x2=2π3

x0，π3π3，2π32π3，π

y′-+-

y单调减单调增单调减

∴y=43cos3x-cosx在x=π3处取得最小值ymin=-13

∴y=43cos3x-cosx在x=2π3处取得最大值ymax=13

此法求最值的关键是用一阶导数确定给定区间上函数的单调性。y′>0，单调增；y′<0，单调减。

其实对于同一个问题，我们可以从不同的方向、不同的侧面、不同的层次来分析问题，解决问题。

【例8】 求函数y=sinx2-cosx的最值。

解：解法一：利用三角函数的有界性来解

原式化为2y-ycosx=sinx，即2y=sinx+ycosx，

从而2y1+y2=11+y2sinx+y1+y2cosx=sin（x+φ）（φ=arctany）

于是2y1+y2≤1，y2≤13，∴-33≤y≤33。

故函数y=sinx2-cosx的最大值为33，最小值为-33。

解法二：利用数形结合求

如图所示，y=sinx2-cosx可看作是定点（2，0）与动点（cosx，sinx）连线的斜率的相反数，

而动点（cosx，sinx）满足sin2x+cos2x=1，

故问题转化为求定点（2，0）与单位圆上的点的连线的斜率的最值，由数形结合得，连线与圆相切时取得最值。故ymax=33，ymin=-33。

解法三：用导数来解

在[0，2π]内，y′=cosx（2-cosx）-sinxsinx（2-cosx）2=2cosx-1（2-cosx）2

令y′=0，得驻点x1=π3，x2=5π3

比较yπ3=33，y（0）=y（2π）=0，y5π3=-33

故函数y=sinx2-cosx的最大值为33，最小值为-33。

作为反映实际数量关系、几何图形性质的最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各知识点，各个知识水平层面，以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践能力和创新能力。而三角函数也是考查的一个重点。三角函数是一类特殊的函数，用三角函数的特征加上函数、几何、导数的思想来求最值，从而培养学生的观察能力和思维能力。因此，两者结合的题目有比较重要的地位。因此，能够灵活运用各种求最值的方法十分重要。

作者简介：

许美芬，江苏省宜兴市，宜兴中等专业学校。