斐波那契恒等式的一种几何解释

曹嘉兴��

斐波那契恒等式是指以下的恒等式[1]：

（a2+b2）（x2+y2）=（axby）2+（bx±ay）2.

这两个恒等式是意大利著名数学家斐波那契（Fibonacci，约1170—1250）在他的名著《算盘书》（写于1202年）中给出的，它们说明了如果两个数都能表示成两个平方数的和，那么它们的乘积也能表示成两个平方数的和.斐波那契恒等式是二次型的高斯理论以及近代数论中某些发展的起源，长期以来人们较多的关注斐波那契恒等式在代数和数论方面的意义（如文[2]和文[3]），忽视了对斐波那契恒等式几何意义的探究，经过研究笔者发现了斐波那契恒等式的一种几何解释，也就是下面的定理：

定理 在Rt△ABC中，D是斜边AB上的任意一点，则

（CD·AB）2=（AD·BC）2+（BD·AC）2.图1

证明 如图1，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则由△BDE∽△BAC得DEAC=BDAB，所以DE=BD·ACAB，由DE∥AC得CEBC=ADAB，所以CE=AD·BCAB.

在Rt△DCE中，由勾股定理得CD2=CE2+DE2，

所以CD2=（AD·BCAB）2+（BD·ACAB）2，

即（CD·AB）2=（AD·BC）2+（BD·AC）2.

注记1 在Rt△ABC中，若点D为斜边AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD=AD=BD，再由上述定理可得AB2=BC2+AC2，这就是著名的勾股定理，因此上述定理是勾股定理的一种推广.图2

不妨设a、b、x、y均为正数，在Rt△ABC中，D是斜边AB上的任意一点，作CE⊥AB，垂足为点E，若点E落在线段AD上，如图2，记BC=a，AC=b，CE=x，DE=y.由△ACE∽△ABC得AEAC=CEBC，所以AE=AC·CEBC=bxa，所以AD=AE+DE=bxa+y.由△BCE∽△BAC得BEBC=CEAC，所以BE=BC·CEAC=axb，所以BD=BE-DE=axb-y.

所以（AD·BC）2+（BD·AC）2=（bxa+y）a2+（axb-y）b2

=（bx+ay）2+（ax-by）2.

由勾股定理得CD2=CE2+DE2=x2+y2，AB2=BC2+AC2=a2+b2，

所以（CD·AB）2=CD2·AB2=（x2+y2）（a2+b2）.

由本文定理可得

（a2+b2）（x2+y2）=（ax-by）2+（bx+ay）2.

這正是著名的斐波那契恒等式，由此可见本文定理可看作是斐波那契恒等式（a2+b2）（x2+y2）=（ax-by）2+（bx+ay）2的一种几何解释.

注记2 在Rt△ABC中，D是斜边AB上的任意一点，作CE⊥AB，垂足为点E，若点E落在线段BD上，运用与上面相同的推理方法不难得到：

（AD·BC）2+（BD·AC）2=（bx-ay）2+（ax+by）2，

（CD·AB）2=（x2+y2）（a2+b2），

再由本文定理可得

（a2+b2）（x2+y2）=（ax+by）2+（bx-ay）2.

因此本文定理也可看作是斐波那契恒等式（a2+b2）（x2+y2）=（ax+by）2+（bx-ay）2的一种几何解释.

参考文献

[1]单墫.数学名题词典[M].南京：江苏教育出版社，2002：136-137.

[2]朱华伟，钱展望.数学解题策略[M].北京：科学出版社，2009：321-328.

[3]高宁，张在明.一道经典题目与一个经典恒等式的渊源[J].玉溪师范学院学报，2012，28（12）：14-17.