精心设计初始问题 促进学生深度学习

【摘 要】 学生核心素养的落实在于课堂教学，课堂教学的开端在于初始问题的设计.如何设计初始问题，才能促进深度学习，发展核心素养？本文基于已有认知，设计与已有经验关联的或是与已有认知冲突的初始问题；基于操作探究，设计其亲身操作体验的初始问题；基于数学知识本身，设计将新知融入结构的或是能揭示知识本质的初始问题，从判断深度学习是否发生的角度，具体来谈谈如何设计初始问题.

【关键词】 初始问题；深度学习；核心素养

2016年9月，《中国学生发展核心素养》正式发布.要将核心素养的研究落到实处，必须通过课堂教学活动来实现.“怎样的教学活动才能促进核心素养的发展”，就是要将学生引向“深度学习”的教学活动.所谓深度学习，就是在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心投入参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[1].在这个过程中，学生掌握核心知识，把握学科的本质及思想方法，揭示知识的本质属性，是在理解和运用层面之上进行分析、评价和创造层面的高阶思维的学习，是促进学生核心素养发展的.判断深度学习是否发生，一是看学习的内容与已有的经验是否建立起关联，实现知识与经验的相互转化；二是看学习的机制，学生是否全身心的感受和体验学习过程中丰富复杂、细微精深的真实的情感经历[2]；三是看对学习的知识是否进行“同化”和“顺应”，数学知识大多基于内部发展扩充而来，引导学生重新认识知识所在的结构体系；四是看形成认知冲突后是否发展出有价值的问题，新的问题与原有的认知发生冲突后，重新思考探索寻找新的途径解决问题；五是看对学习内容是否进行深度加工，掌握知识的本质属性，能够达到举一反三.

如何在课堂教学中更好的促进学生进行深度学习，需要教师对教学内容进行整体建构，系统分析，把握知识结构和体系，精心设计初始问题，并基于初始问题将学生引向深度学习.初始问题的设计要符合学生的认知规律和特点，教师根据学生的已有知识和经验，充分发挥初始问题的初始性、载体性和结构性的特点，从学生适合的方式将学生引向深度学习.下面，笔者就数学课堂教学中，谈谈如何通过精心设计初始问题来促进学生深度学习.1 设计与已有经验关联的初始问题，关联中建立新的知识结构

教学案例1 苏科版数学八年级上册“5.1平面直角坐标系”的设计[3].

问题1：说出下列数轴上各点所表示的数.

生：A点表示的数是1，B表示3，C表示-2.

师：数轴上的一个点都可以用一个数来表示.

問题2：张高中位于市一中正东2千米处，步行街位于市一中正西1千米处，能否用数轴表示这三者的位置？

生：能（到黑板上表示）.

师：数轴上的一个点可以用一个数来表示，一个数在数轴上可以用一个点来表示.数轴上的点与数之间是一一对应的关系.

问题3：市政府位于市一中正北2千米处，能否在刚才的数轴上表示市政府的位置？

生：不能.

师：可不可以想想办法来表示它的位置呢？（学生小组讨论交流）请一个同学到黑板上来表示.

生：再画一条数轴，并且让它们原点重合，与原来的数轴垂直，在新画的数轴上表示市政府的位置.

师：这就是我们今天要研究的平面直角坐标系（板书课题）.

设计意图 平面直角坐标系是在学习了数轴与有关几何知识以后安排的，本节的教学设计是从学生已有的知识：一维的数轴进行引入，并通过生活中的例子，市一中、张高中、步行街及市政府的位置引入二维的平面直角坐标系.问题的设计基于已有认知，通过调动学生的已有经验参与课堂的学习，又将课上的学习与学生的已有经验建立起结构性的关联，学生很自然的想到平面直角坐标系的建立，体现了由自然到必然这个过程.同时也发展了学生的记忆、理解和关联能力，帮助学生建立系统化的知识结构，促进学生深度学习.2 设计其亲身操作体验的初始问题，操作中感悟新知产生发展

教学案例2：苏科版数学七年级上册“2.7有理数的乘方”的设计[3].

问题1：若正方形的边长为a，则正方形的面积是？

若正方体的棱长为a，则正方体的体积是？

生：a2；a3.

问题2：“做一做”，将一张报纸依次对折1次，2次，3次，4次，5次…，观察报纸发生了什么变化？

生：报纸越来越小，报纸越来越厚.

师：观察对折的次数与报纸的层数之间有什么关系呢？

生：交流发现

对折次数[]层数[BHDW，WK15mm，WK20mm，WK40mmZQ2W]

1次2[BH]

2次2×2[BH]

3次2×2×2[BH]

4次2×2×2×2[BHDW，WK15mm，WK20mm，WK40mmW]

…… [BG）W]

师：对折10次呢？对折100次呢？

生：10个2相乘，100个2相乘.

师：很好，但这样表示的话会不会给我们的写法上带来不便呢？有没有更好的办法？

生：（沉默）

师：请同学们交流讨论一下，并想想a2表示什么含义，a3表示什么含义？

生：知道了.

师：那么n个a相乘，会表示吗？

学生总结乘方的记法和读法

层数[]记作[]读作[BH]

2×2[]=22[]2的平方（2的2次方）[BH]

2×2×2[]=23[]2的立方（2的3次方）[BH]

2×2×2×2[]=24[]2的4次方[BH]

…[]…[][BH]

a×a×…×an[]=an[]a的n次方

乘方的定义：求相同因数积的运算，叫做乘方.乘方的结果叫做幂.

设计意图 让学生动手操作后观察发生了哪些变化，学生可能从报纸的厚度、大小、报纸的层数等方面发现其中的变化，引导学生进一步观察对折的次数与报纸的层数之间的关系.学生交流后很容易发现规律，当相同的因数过多后，会感觉到用算式表达太复杂，迫切需要一种简单的表示方法，这种方法就是乘方，充分体现了引入乘方这个概念的自觉性和必要性.学生通过回忆平方和立方的表示方法，经过探索后类比出4次方、5次方等表示方法.切身感受到了引入乘方的表示方法，目的是为了书写的方便.整个过程不仅知道了乘方的结果，也经历了乘方这个概念的发展、符号完善的过程.设计操作体验式问题，将静态的知识激活，学生亲身体验到知识蕴含的内涵与意义，让数学知识从“冰冷的美丽”焕发“火热的思考”，促进学生深度学习.3 设计将新知融入结构的初始问题，结构中重新建构知识体系

教学案例3：苏科版数学八年级下册“10.1分式”的设计.

数的产生离不开生活，由记数产生了数1，2，3，…，表示“没有”产生0，这就是自然数的产生.进而进行“+”“-”“×”运算，发现又产生了负数，这时数的范围扩大到了整数.

问题1：在进行“÷”运算后，又是什么样的情况呢？

生：有的是整数，有的是分数.

师：对，两个整数不能整除的情况下产生了分数.随着用字母表示数之后，整数变为整式.如1，2，a，x等.如果将两个整式进行“+”“-”“×”运算呢？

生：还是整式.

问题2：将两个整式進行“÷”运算呢，同学们写写看，并将写好的式子相互交流讨论一下.

生：a3，x-22，1x，a-2a+2，x2-4x+2等.

师：这里有同学们熟悉的式子吗？

生：a3，x-22，这两个是整式.

师：对，还有的同学不太会判断哪些是整式，大家交流讨论一下，怎么判断哪些式子是整式？

生：分母是数字的就是整式，分母有字母的就不是整式.

师：对于那些不是整式的，这就是我们今天要学习的，能否给它起个名字呢？

生：分式.

设计意图 在回顾数的发展过程提出初始问题后，学生感悟了分数的产生、发展和形成过程.在引入字母表示数后，从整数发展到整式，对整式进行“+”“-”“×”“÷”运算后，特别是除法运算，发现分母含有字母的已经不是整式了.学生类比分数产生的经验，马上给出分式的名称，并且很容易从形式上得出AB，其中A、B都是整式，并且B含有字母等特征，不但掌握了分式的概念，并且感到分式产生是自然的、合理的，不但“发现”分式，弄清了分式产生的来源，而且对分式的概念知其然，更知其所以然.能在数式发展的整体过程中去认识分式，并将分式置于整个知识体系中重新理解各个知识间的关联，加深各部分内容在头脑中的印象，从而实现深度学习.4 设计与已有认知冲突的初始问题，冲突中寻找新的认知平衡

教学案例4：苏科版数学七年级下册“8.3同底数幂的除法（2）”的设计.

问题1：计算a6÷a2.

生：a6÷a2=a6-2=a4.理由是同底数幂相除，底数不变，指数相减.即am÷an=am-n（a≠0，m、n是正整数）.

问题2：计算a6÷am.

生：a6÷am=a6-m.

师：根据是什么？

生：am÷an=am-n（a≠0，m、n是正整数）.

师：当m=1时，a6÷a1=a5；当m=6时，a6÷a6=a0；当m=7时，a6÷a7=a-1；师：我们知道a5表示5个a相乘，那么a0表示0个a相乘，a-1不就表示成-1个a相乘了吗？

师：这里a0、a-1表示怎样的意义呢？是不是刚才的做法有问题了？

生：错了，法则am÷an=am-n（a≠0，m、n是正整数）少了一个条件m>n.

师：那么怎么计算a6÷am呢？需要回到法则中去，不能全部解决，就要进行讨论.

生：分m<6、m=6、m>6三种情况讨论，当m<6时，a6÷am=a6-m；当m=6时，a6÷a6=1.

师：那么，m>6时呢？

生：无意义.

师：同意吗？m>6时，例如m=7时，a6÷a7=1a，没有意义吗？

生：m>6时，a6÷am=1am-6.

师：当m=6，m>6时，并不是题目没有意义，而是a0、a-1的形式没有意义，就是说原来同底数幂相除的法则已经不适用了.现在计算a6÷am=a6-m， （m<6）1，（m=6）1am-6.（m>6）

师：那是不是以后做a6÷am这类问题都要进行分类讨论呢？能否简化？那就要扩大幂的概念，将正整数指数幂扩大到整数幂的概念，也就是规定a0、a-1的意义，这就是本节课学习的内容.

设计意图 通过设计a6÷am这个初始问题，学生直接运用法则去做，出现了a0、a-1的形式，这类形式从意义不能解释，与原有的认知发生冲突.为了避免冲突，只能分类讨论逐一去做，但这样做的话又非常的繁琐，为了简化运算，需要将正整数幂的概念扩大到整数幂的概念，进而需要规定a0、a-1新的意义，重新解释整数幂的概念，这样就避免了与已有的认知冲突，寻找到了新的认知平衡，实现了深度学习.5 设计能揭示知识本质的初始问题，深加工中提炼出本质属性

教学案例5：在义务教育苏科版数学八年级上册“6.1函数”的教学中.

问题1：随着年龄的增长，大家的身高越来越高；随着乘车时间的增加，到目的地的路程越来越近；随音乐播放时间的推进，国旗的高度越来越高；随着四季的变化，气温也随之变化……在上述变化过程中，哪些量在变化？

生：年龄和身高；时间和路程；时间和高度；时间和气温.

师：有几个变量，有什么关系？

生：两个变量，一个变量变化时，另一个变量也随着变化.图1

问题2：（1）如图1，一石激起千层浪，水滴泛起层层波.变化中的波纹可以看作是一个不断向外扩展的圆.

你能用语言描述变化中圆的面积与其半径大小之间的关系吗？

生：S=πr2，圆的面积随着半径的增大而增大.

（2）已知水库的水位变化与蓄水量变化情况如下表所示：

水位高低与蓄水量有什么关系？

生：水位升高，蓄水量增大；水位降低，蓄水量减少；水位确定，蓄水量也随着确定.

（3）如图2，搭一条小鱼需要8根火柴，每多搭一条小鱼就要增加6根火柴，请说出搭小鱼過程中的常量和变量.

图2

你能写出搭n条小鱼所需的火柴根数s与小鱼条数n之间的关系式吗？

生：s=8+6（n-1）.

师：上面的几个问题都有共同特征：具有两个变量，两个变量之间存在着唯一对应关系，每当一个变量取一个定值，另一个变量有唯一的值与其对应.

问题3：请举出生活中满足上述本质属性的例子.

生：……师：满足上述这些例子本质属性的就是函数，尝试给函数下个定义.

设计意图 通过设计初始问题1，让学生经过数学抽象，在变化过程中感受到有两个变量；问题2让学生围绕3个问题进行去情境化，再次抽象，提炼出本质属性，真正感悟到了两个变量之间的对应关系和函数的唯一性；问题3在大量的具体事例的基础上了解到了函数的本质属性，通过总结，让学生对本质属性有了整体认识，在深加工中提炼出函数的本质属性，并将函数的本质属性进行推广，借助数学符号来表述函数的概念，发展了数学思维能力和提炼概括的能力，促进了学生深度学习.

核心素养的落实应基于深度学习，而深度学习的实现必须整体进行结构分析，精心设计初始问题，由问题引导学生经历知识发生发展过程，亲身体验知识产生发展到完善；由问题进行深度加工，真正理解、领会以至走向分析、评价、创造；由问题引导学生去分析问题、解决问题，从而实现知识的迁移与应用.深度学习不仅要遵循教育的规律，还要遵循学生的认知规律，所以在初始问题的设计上要为学生的思维活动提供一个广阔的空间，引领学生去思考、去操作、去探索、去发现，最终形成终身学习的能力，提升核心素养.

参考文献

[1]周建勋.促进学生“深度学习”的理论探索与实践[J].中学数学教学参考，2017（12）：26-28.

[2]郭华.深度学习及其意义[J].课程教材教法，2016（11）：25-32.

[3]张宗山、顾大权.发挥情境导入作用 提高数学课堂情趣[J].上海中学数学，2016（11）：35-38.作者简介 顾大权（1977—），男，中学高级教师，辽宁海城人，主要从事初中数学教学和解题研究.