抛物线中的一个结论及其应用

吴国庆��

图1如图1所示，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，点C为其顶点，对称轴交x轴于点D，点E在x轴上方，并且在对称轴上，直线AE交抛物线于另一点F，过点F作y轴平行线，过点C作x轴平行线，两条直线交于点G，连接EG和AC，证明：EG∥AC.

证明 设A（x1，0），B（x2，0），于是y=ax2+bx+c为y=a（x-x1）（x-x2），设EC：x=h，于是C（h，a（h-x1）（h-x2）），设AE：y=k（x-x1），则E（h，k（h-x1））

联立y=a（x-x1）（x-x2）和y=k（x-x1），可得：xF=x2+ka.

又tan∠ACD=ADCD=h-x1-a（h-x1）（h-x2）=1-a（h-x2），

tan∠CEG=CGEC=x2+ka-hk（h-x1）-a（h-x1）（h-x2），

因為h=x1+x22，所以x1=2h-x2，

所以tan∠CEG=x2+ka-h-k（h-x2）+a（h-x2）（h-x2）=x2+k[]a[SX）]-h[]-a（h-x2）（k[]a[SX）]+x2-h）=1-a（h-x2）.

所以tan∠ACD=tan∠CEG，∠ACD=∠CEG，即EG∥AC.

当点E在x轴下方时，同理可证结论成立；如果我们改变抛物线的开口方向，也不难证明上面结论依然成立.

在二次函数综合题中，如果涉及到这类问题，利用这个结论可以很快发现问题思路，下面举例说明.

联立y=x2-4x+3和y=k（x-1）可求xD=3+k，所以QE=k+1，PQ=k+1，所以QE=PQ，

∠EPQ=45°，又∠EPQ=2∠APQ，所以∠APQ=22.5°，∠APE=67.5°，∠BAP=67.5°，

设PE交x轴于M，对称轴交x轴于N，则MA=MP，设MA=MP =m，则NM=m-1=PN，

由m=2（m-1），所以m=2+2，PN=2+1，即P（2，2+1）.图3

例2 如图3，抛物线y=-x2+2mx+3m2（m>0）与x轴交于A、B两点，A点在B点左边，顶点为M，若一次函数y=kx+b过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，且E在x轴下方，MG∥x轴，FG⊥MG，对称轴交x轴于点D，若AM∶EG=，求MG[]AB的值.

解析 可求A（-m，0）、B（3m，0），M（m，4m2）.

设AF：y=k（x+m），与抛物线联立得：

F（3m-k，4km-k2），E（m，2km） ，

因为tan∠AME=ADDM=12m，

tan∠MEG=MGME=3m-k-m4m2-2km=12m，

所以tan∠AME= tan∠MEG，∠AME= ∠MEG，

得AM∥EG，易证 △ADM∽△GME，

所以 AM∶EG= AD∶MG =，即 MG∶AD = ，又AB=2AD，所以MG[]AB=.

例3 （武汉调考题）y=ax2+bx+33与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C.P为抛物线的对称轴上的动点，且在x轴的上方，直线AP与抛物线交于另一点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图4，连接AC、DC.若∠ACD=60°，求点D的横坐标；

（3） 如图5，过点D作直线y=-3的垂线，垂足为点E.若PE=2PD，求点P的坐标.

解析 （1）y=3x2-43x+33； （2）问点D的横坐标为195；

（3） 如图5，过点P作PQ⊥DE，垂足为Q，抛物线的对称轴与x轴和y= -3交点分别为点H，M，则M（2，-3）.

设直线AD为y=m（x-1），联立y=mx-m和y=3x2-43x+33，

xD=3+33m，因为PM：x=2，DE∥y轴，

所以点D的横坐标为3+33m，所以ME=1+33m.

又tan∠PEM=3，所以∠PEM=60°，∠PEQ=30°，所以PE=2PQ，

因为PE=2PD，所以PD=2PQ，所以∠QPD=45°.

因为PQ∥x轴，所以AP与x轴的夹角为45°，则△PHA为等腰直角三角形，

所以PH=AH=1，所以P（2，1）.

从上面3个例题可以看出，利用这一结论可以很快寻找问题解决的思路，如：例1中，由PE∥AQ易发现∠QPE=∠QAN=45°；例2中，由EG∥AM可证△ADM∽△GME；例3中由EP∥AM可得∠MPE=∠AMH=30°，这些给我们解决这类综合问题带来极大方便.

构造等高平行线，巧解一次函数中的等积问题

山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平 丁秀清

一次函数中，通过构造特殊三角形，使动点生成三角形的面积是定值，是一个非常有趣的课题，而通过构造等高平行线方式求解也是乐趣无穷，一起走进这片沃土，汲取知识，提升数学智慧吧.图1

原题 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l的解析式为y=-33x+1，该直线与x轴、y轴分别交于点A，B，以AB为边在第一象限内作正三角形ABC.若点P（m，n）在第一象限内，且满足S△ABC=S△ABP，则n的取值范围是（ ）.

A.03D.2

思路分析

根据S△ABC=S△ABP可确定点P位于和直线AB平行的直线上，只要确定出这条直线的解析式，求得直线与坐标轴的交点坐标，交点的纵坐标就是点P纵坐标n的取值范围，问题得解.

解 根据题意，得点A（3，0），点B（0，1），AB=2，∠BAO=30°，

点C（3，2），设过点C且平行AB的直线解析式为y=-33x+b，

所以2=-33×3+b，解得b=3，所以直线解析式为y=-33x+3，

所以直线与坐标轴的交点坐标分别为（0，3），（33，0），因为点P（m，n）在第一象限内，所以0

评析 利用平行线间的距离处处相等，确定动点所在的等高线，充分利用好这条等高线，能帮助我们很好地去解决问题.解答时，要把握好如下几个关键：一是熟记一次函数中直线平行的条件；二是能准确判断动点的位置；

三是灵活整合知识确定最终的答案.

好题都有很强的可塑性和可变性，下面就一起赏析题目的变式.

变式1 将点的坐标特殊化

例1 已知直线y=-33x+1与x、y轴分别交于点A、B以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC.如果第一象限内有一点P（m，12）使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值.

分析 这是原题的具体化，把无数的动点，转化为一种特殊的定点，不论怎样变化，点在过点C的等高线上的属性不变，于是利用直线与点的关系，m的值可轻松求得.

解 根据题意，得点A（3，0），点B（0，1），AB=2，∠BAO=30°，

点C（3，2），设过点C且平行AB的直线解析式为y=-33x+b，

所以2=-33×3+b，解得b=3，所以直线解析式为y=-33x+3，所以12=-33m+3，

解得m=532.

评析 解题的灵魂在于确定动点运动的等高线，熟练运用平行线的条件确定等高线的解析式是解题的关键.将一般性问题特殊化，是数学变式的重要方式，也是一种重要的数学思想，要重视并强化训练.

变式2 变式为等腰直角三角形，且纵坐标为定值图2

例2 如图2，直线y=-33x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点P（a，12），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值.

分析 等边三角形变成了等腰直角三角形，等积的性质不变，确定等高线亦然是解题的关键点，符合条件的等高线有两条，同时点P还在直线y=12上运动，所以等高线与y=12的交点，且位于第二象限内就是所求.

解 根据题意，得点A（3，0），点B（0，1），AB=2，∠BAO=30°，显然y=12与过点C且平行AB的直线的交点在第一象限，不符合题意；

作点C关于直线AB的对称点D，作DE⊥x轴，垂足为E，AD=AB=2，∠ADE=30°，

所以AE=1，DE=3，点D（3-1，-3），设过点D且平行AB的直线解析式为y=-33x+b，所以-3=-33×（3-1）+b，解得b=1-433，

所以直线解析式为y=-33x+（1-433），所以12=-33a+（1-433），解得a=32-4.

评析 利用构造对称点的思想构造出那条隐含的等高线是解题的关键.利用二线相交的思想确定所求也是解题的重要靓点，要熟练掌握.

变式3 变式为等腰直角三角形，且横坐标是定值图3

例3 如图3，已知直线y=-33x+1与x轴，y軸分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.且点P（1，a）为坐标系中的一个动点.

（1）求△ABC的面积；

（2）证明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数；

（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值.

分析 确定等高线亦然是解题的关键点，符合条件的等高线有两条，同时点P还在直线x=1上运动，所以等高线与x=1的交点就是所求.

解 （1）根据题意，得点A（3，0），点B（0，1），AB=2，∠BAO=30°，所以S△ABC=2；

（2）连接PO，PB，则S△ABC=12BO·Px=12×1×1=12，与a无关，所以不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数；

（3）因为△ABC是等腰直角三角形，AC=2，∠BAO=30°，所以点C（3+1，3），设过点C且平行AB的直线解析式为y=-33x+b，所以3=-33×（3+1）+b，解得b=3+433，

所以直线的解析式为y=-33x+3+433，所以a=-33+3+433=3+1；

作点C关于直线AB的对称点D，作DE⊥x轴，垂足为E，AD=AB=2，∠ADE=30°，

所以AE=1，DE=3，点D（3-1，-3），设过点D且平行AB的直线解析式为y=-33x+b，所以-3=-33×（3-1）+b，解得b=1-433，所以直线解析式为y=-33x+（1-433），所以a=-33+（1-433）=3-533.综上所述，符合题意的a值为3+1或3-533.

评析 前两小问计算三角形的面积，确定底边，找准边上的高即可，第三问仍是等高线的确定，交点坐标就是等高线与定直线x=1的交点，这是本题的特色.

变式4 变式解析式和三角形图4

例4 如图4，一次函数y=-3x+3的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°.（1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，32），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值.

分析 第一问利用勾股定理求得AB，在直角三角形ABC中实施勾股定理，AC，BC的长度可求，从而面积可求；第二问的解答需要构造等高线，利用等高线与定直线相交的思想，确定m的值；

解 （1）根据题意，得点A（1，0），点B（0，3），AB=2，∠ABO=30°，所以BC=2AC，

所以BC2-AC2=AB2，解得AC=233，所以S△ABC=233.

（2）显然y=32与过点C且平行AB的直线交点在第一象限，不符合题意.

因为∠ABO=∠ABC=30°，BA⊥AC，延长CA交y轴于点D，则△BDC是等腰三角形，

因为AD=AC=233，则点D（0，-33），设过点D且平行AB的直线解析式为y=-3x+b，所以b=-33，所以直线的解析式为y=-3x-33，所以32=-3m-33，解得m=-56.

评析 解析式变化带来只是解题答案的不同，解题细节上的不同，但是构造等高线的策略没有改变.要熟练运用.

利用三角形的面积相等构造等高线是解决一次函数中等积问题的有效方法之一，它巧妙运用了同底等高的两个三角形面积相等，从而为等高线的构造奠定依据.其次，熟练运用直线平行的条件设解析式也是解题的一个亮点，特别要值得注意的就是待求点是如何借助等高线和定直线相交生成，哪些交点是符合题意的，哪些是不符合题意的，要自主判断，灵活求解.