超实函数理论与微积分新理论的创新

四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安

众所周知，从几何的角度，微积分理论首先要解决的两个问题是：过曲线上一点的切线的斜率和曲边梯形的面积，前者是求函数的导数，后者是求函数的定积分。因此，本文分三部分，即超实函数理论简介、导数部分和定积分部分。现在分别叙述如下：

一、超实函数理论简单介绍

超实函数定义：令xs=x+dx为超实变量，则实变量x表示超实变量xs在数轴上的位置，dx表示与超实变量xs对应的点的性质（在这里请特别注意，dx与微分的概念有本质的区别），dx为无限小量，它小于任意正实数，但是不等于0，它的几何意义为超实变量xs在数轴上对应点的无限小长度。与超实变量xs对应的点为超实数点，与超实数点对应的集合为超实数点的集合，与超实变量对应的函数为超实函数。

根据上面的定义，如果有实变量y和x，则有超实变量ys=y+dy和xs=x+dx，如果有实函数y=f（x），则有超实函数ys=f（xs）=f（x+dx），又因为ys=y+dy，所以dy=ys-y=f（x+dx）-f（x），公式dy=f（x+dx）-f（x）很重要，以后经常用到。

对于超实函数ys=f（x+dx），在研究康托尔集合论存在的错误的过程中起了重要的作用，并且已经认识到它是一个客观真实存在的函数。现在我们去掉这个函数中的dx，就得到与上述超实函数对应的实函数f（x）,由于实函数f（x）是客观真实存在的超实函数ys=f（x+dx）去掉dx而得到的函数，因此实函数f（x）相对于超实函数ys=f（x+dx）而言，就是一个失真函数。这个概念一时难以理解，在后面使用超实函数理论论述微积分理论得到好处的时候，人们就会认识到我们为什么把实函数f（x）称之为失真函数。

二、导数部分

根据上述超实函数理论，如果有实函数y=f（x），就有超实函数ys=f（x+dx），并且 dy=f（x+dx）-f（x），如果（x,y）为曲线 y=f（x）上的任意一点，则dx的几何意义为该点沿x轴方向的无限小长度，dy的几何意义为该点沿y轴方向的无限小长度。这时，以dx和dy为两个直角边的直角三角形是一个无限小三角形，则即为过曲线y=f（x）上的任意点（x,y）的切线的斜率，同时也就是该点的导数。根据上述理解，我们就可以给出超实函数ys=f（x+dx）和与之对应的实函数y=f（x）的导数的定义如下：

定义 如果有实函数y=f（x），则有与之对应的超实函数ys=f（x+dx），这时即为超实函数ys=f（x+dx）的导数，如果去掉含有无限小dx的部分，就得到实函数y=f（x）的导数。

超实函数ys=f（x+dx）和与其对应的实函数f（x）的导数可以根据上述的导数定义计算出来，现在举例说明如下：

如果有实函数y=x2和与其对应的超实函数ys=（x+dx）2，则超实函数ys=（x+dx）2的导数即为果去掉dx ，则实函数y=x2的导数就是y'=2x。

从以上论述可以看出，导数的定义和计算都异常简单明了，和经典微积分比较，没有使用极限理论，这都是因为使用超实函数理论的结果。

微积分的理论在历史上经历了非常曲折的道路，莱布尼茨的微积分理论，在历史上曾经取得辉煌的成就，但是由于贝克莱悖论而被否定了，被现在的以极限理论为基础的所谓经典微积分所取代。难道以极限理论为基础的经典微积分就不存在问题吗？日本数学家野口 洪在他的《拓扑学的基础和方法》一书中认为，极限理论存在不明确性的问题，并且指出，日本的教科书是使用拓扑学的方法来定义导数的。

此外，以极限理论为基础的经典微积分理论还存在循环定义的逻辑问题。因为循环小数是使用极限的概念来定义的，而导数又一次使用极限概念来定义，因此就出现了循环定义的逻辑问题。为了解决这个问题，数学家们又给出了使用区间套的理论来定义循环小数，这是否就解决了问题呢？仍然是一个问题。由此可见，以极限理论为基础的经典微积分存在的问题，并不比莱布尼茨的微积分理论少，而我们使用了超实函数的理论，上面的所有问题都一扫而光，这也就是我们为什么要使用超实函数理论对微积分理论加以创新的原因。

三、定积分部分

1．定积分的定义

首先我们研究使用定积分方法来计算x轴上线段的长度。根据超实函数的理论，超实函数ys=f（x+dx）是客观真实存在的函数，而与之对应的实函数y=f（x）则是超实函数ys=f（x+dx）去掉dx的一个失真函数，同时也可以说，实函数y=f（x）是超实函数ys=f（x+dx）的一个伴随函数。同样的道理，实变量x也可以说是超实变量xs=x+dx的一个伴随变量。因此，当我们说x轴上的任意点x，则dx就表示x对应的点的性质，它的几何意义即为x对应的点的无限小长度。令a和b分别为x轴上的两个点，并且a＜b，则b-a即为上述两点间的线段的长度，这个长度应该等于两点间所有的点的无限小长度的算数和，即这就是使用定积分来计算x轴上线段的长度的表达式。

众所周知，定积分的几何意义为曲边梯形的面积。现在我们来研究以x轴上a和b两点间的线段为底边，以函数y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积的定积分的计算方法。

如果x为a和b两点间的一个任意值，x点的无限小长度为dx，则f（x）dx为垂直于x轴，并且与x点对应的以dx为底边，以f（x）为高的无限小的长方形的面积。则要求的曲边梯形的面积即为a和b间所有的x对应的上述的长方形的面积的算数和。即上述的曲边梯形的面积根据对定积分的几何意义为曲边梯形的面积的理解，可以给出定积分的定义如下：

定义 如果有连续函数f（x），则在区间[a,b]上的定积分为

其中a为定积分的下限，b为定积分的上限，[a,b]为积分区间，f（x）dx为被积式。

2．定积分的计算

从以上的叙述中可以看出，定积分的定义和计算公式的导出，不仅没有用使用极限的理论，而且异常简单明了，这充分体现了超实函数理论的优越性。

这种微积分理论，由于使用了超实函数的理论，因此，这种微积分理论可以叫作超实微积分。