谈高考数列热点：一类求和问题的探究

孙永彬

摘要：本文利用“裂项相消”模型探究了高考数列热点——求和问题。希望能有利于数学教学效率的提高。

关键词：高考数学；数列热点；求和问题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）01-0122

在近几年的高考数列试题中都有考查与数列有关的不等式问题，表面是证明数列不等式，实质是数列求和，若可直接求和，就先求和再放缩；若 ai不能直接求和的，一般要先将通项an放缩后再求和。问题是将通项an放缩为可以求和且“不大不小”的什么样bn的才行呢？所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力。”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等。

本文笔者将数列问题中一些常见的如何通过放缩转化“裂项相消”模型作其归纳，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受“裂项相消”模型的无限魅力！

题型1. 通项可直接用裂项相消法求和，然后再放缩.

例1. 求证： + + +…+ < （n∈N+）

分析：左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.

∵ = （ - ）

∴左边= [（1- ）+（ - ）+…+（ - ）]= （1- ）<

题型2. 通项不可直接用裂项相消法，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和，然后再放缩，以下对通项an= 的几种放缩为裂项相消模型

模型1. - = < = < = -

模型2. < = = （ - ）

模型3. = < = =2（ - ）

例2. 1+ + +…+ <2（n∈N+）

分析：左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和.

当n≥2时，∵ = < = -

∴左边<1+[（1- ）+（ - ）+…+（ - ）]=1+1- <2（n≥2）

当n=1时，不等式显然也成立.

变式1. 求证：1+ + +…+ < （n∈N+）

分析：变式1的结论要比例2的强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？

方法一：将例2的通项从第三项才开始放缩即保留前两项，从第三项开始放缩

当n≥3时，∵ < = -

∴左边<1+ +（ - ）+…+（ - ）=1+ + - = - < （n≥3）

当n=1，2时，不等式显然也成立.

方法二：将通项放得比例2更小一点，即：当n≥2时，

∵ < = （ - ）

∴左边<1+ [（1- ）+（ - ）…+（ - ）]=1+ （1+ - - ）<1+ （1+ ）= （n≥3）

当n=1时，不等式显然也成立。

变式2.求证：1+ + +…+ < （n∈N+）

分析：变式2的结论比变式1更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？

方法一：将变式1方法二中通项从第三项才开始放缩.

当n≥3时，∵ < = （ - ）

∴左边<1+ + [（ - ）+（ - ）+…+（ - ）=1+ + （ + - - ）<1+ + （ + ）=

当n=1，2时，不等式显然也成立.

方法二：将通项放缩的比变式1方法二更小一点.

当n≥2时，∵ = < = =2（ - ）

∴左边<1+2[（ - ）+（ - ）+…+（ - ）]=1+2（ - ）<1+2· =

当n=1时，不等式显然也成立.

【例2小结】对an= 放缩方法不同，得到的结果也不同.显然 < <2，故变式2比变式1更强，也就是说如果证明了变式2，那么例2和变式1就显然成立. 对an= 的3種（上接第122页）放缩方法体现了三种不同“境界”，得到 的三个“上界”，其中 最接近 = （欧拉常数）。

【方法总结】

放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过大或缩得过小.

模型4. an= < = （ - ）

例3.（08年.辽宁卷）

已知an=n（n+1），bn=（n+1）2，求证： + +…+ <

证明：当n≥2时∵ = < = （ - ）

∴ < + （ - + - +…+ - ）= - <

当n=1时，有 < 也成立.

模型5. = < = = - （n≥2）

例4. 已知数列{an}中，an= ，求证： ai（ai-1）<3

ai（ai-1）<2+（ + ）+…+（ - ）=3- <3（n≥2）

当n=1时，有2<3也成立.

模型6. 2（ - ）= < = < =2（ - ）

例5. 求S

分析：式子不能直接求和，须将通项 放缩为裂项相消模型后求和，为了确定S的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个整数之间.

2（ - ）= <

= < =2（ - ）

18<2（ -1）<1+ + +…+ <1+2（ -1）=19

S的整数部分是18

模型7. ∵2n-1=（1+1）n-1=（C0n+Cn1+Cn2+…）-1>Cn1+Cn2=

∴ < =2·（ - ）（n≥3）

在近几年的高考数列试题中，考查与数列有关的不等式问题一直受命题者的青睐，是热点之一，但技巧性要求较高，是学生的难点之一。因此，在教学过程中，我们不但要教给学生知识，还应注重对解题方法的总结，方可跳出“题海”从而提升学生的思维能力，并且培养学生的思辨能力，希望上面的方法能对大家的学习有所帮助。

（作者单位：浙江省温州市第二十二中学 325000）