基于脉冲时滞微分方程构建人体内酒精扩散模型

宋泓庆,宋子琪,李森

(常州工学院数理与化工学院，江苏 常州 213032)

0 引言

合理饮酒对健康生活起着重要的作用。自2016年国家颁布了新的驾驶员血液酒精含量的检验标准以来，人体酒精残留模型被广泛研究。朱春浩[1]认为可以利用房室模型和微分方程计算酒精在人体内的体液浓度，用以指导日常饮酒。陈之恒等[2]445-458研究了消化系统中的酒精消除率、酒精从消化系统进入血液循环系统的吸收转换率，并计算出不同种类的酒在体液循环系统中酒精浓度达到峰值的时间。王毅等[3]确定了酒精在人体中从消化系统进入体液，以及从体液中渗出到体外的速度系数，并根据每天的喝酒量算出可安全驾车的限定时间。宋秀英、李世全、蔡建平等、孙保炬、赵梅春等[4-8]证明了微分方程模型和房室模型在人体酒精分解研究中的正确性及准确性。

上述研究都是基于酒精在较长时间内匀速进入人体中的情况，然而，饮酒时酒精往往是瞬时进入人体的。脉冲时滞微分方程可以更好地描述某些运动状态在固定或者不固定时刻的变化规律或者跳跃。因此，本文采用具有脉冲扩散效应的时滞微分方程模型对人体内酒精含量进行研究。

1 脉冲扩散效应的数学模型

1.1 模型的建立

根据陈之恒等[2]447的研究，体重为70 kg的男性饮用40 960 mg的酒精，体液中酒精含量在16 h内的变化如表1所示。

表1 体液中酒精含量变化时刻表

下面对模型做出如下假设：

1)人体内酒精转移速率与酒精的浓度成正比例，这种转移交换过程遵循质量守恒定律；

2)酒精从胃部向体液的转移速率及排出体外的速率分别与胃部和体液中的酒精浓度成正比；

3)肝脏对酒精分解速率保持不变；

4)每一时刻，酒精在体内分布均匀；

5)测量的血液的酒精含量即为中心室的酒精含量；

6)体液总体积不变；

7)酒精只会通过体液排出体外；

8)忽略人对酒精的敏感度以及对酒精分解能力的个体化差异。

关于房室模型，究竟取几个房室比较好没有准确的定论。通常的做法是先取1个，如果达不到满意的结果就增加1个，甚至可以采用非线性结构，直到满意为止。本文选取2个房室：中心室(消化系统)和周边室(血液)。建立二房室的微分方程模型并进行求解。

为了便于模型分析，我们把饮酒方式分为连续性饮酒和间歇性饮酒。间歇性饮酒即每隔一段时间摄入酒精；连续性饮酒即一次性持续摄入酒精。下面针对连续性饮酒展开研究。

x1(t)表示t时刻消化系统中的酒精含量(单位：mg)，x2(t)代表t时刻血液循环系统中的酒精含量(单位：mg)，k1为消化系统中的酒精吸收率，k2为血液系统中的酒精消除率。由于是一次性摄入酒精，因此消化系统中的酒精含量初始值为摄入酒精的量，建立微分方程组如下：

根据一阶微分方程组解法可以求出该微分方程组的解为

Peter Lodrup，“Challenges to an Established Paternity － Radical Changes in Norwegian Law”，International Survey of Family Law，353，2003，p．357．

根据搜集的数据(见表1)使用前15组数据利用MATLAB进行非线性最小二乘拟合，拟合结果如下：k1=2.007 6,k2=0.188 5。

拟合优度为97.73%，结果说明拟合效果非常好，k1、k2适应度很高。拟合图如图1所示。

图1 体液中酒精含量拟合图

经代入第16组数据进行检验，得出的结果为296.29 mg，与搜集的数据相差109.61 mg。

人们在饮酒的过程中，酒精通常并不是匀速进入胃中，而是瞬时进入，如一饮而尽会导致胃中酒精的突然增多。此时，可以将该过程视为脉冲过程，建立如下微分方程组：

其中：P表示在tk时候的饮酒量；x0表示人体体液中初始时刻酒精量。因此可以得出，每隔λ小时喝一杯酒，则酒精含量就可以表示为

考虑到酒精在人体内的转移过程，即：酒精从消化系统扩散至体液，由体液扩散至体外，可以建立酒精在人体中具有扩散效应的脉冲数学模型如下：

该系统假设某人在饮酒的时候，每次都一饮而尽，所以酒精每次都是瞬时进入胃中，该微分方程组中n为饮酒杯数，τ为从胃中扩散到体液中所产生的时间延迟。当t(tn,tn+1]时，得到的解为

1.2 数值模拟

根据白酒酒杯的大小，可以假设每杯酒的酒精量为10 mL，一共饮用10杯酒，且喝酒时长为1 h，则t0=0，P=10，n=10，k1=2.007 6，k2=0.188 5，λ=0.05。使用MATLAB进行相关编程并进行数值模拟，得出胃中酒精含量如图2所示。

图2 胃中酒精含量数值模拟

根据图2可以看出，每隔3 min喝一杯酒，胃中的酒精含量毫无疑问在最后一杯的时候达到最大值，根据体液中酒精含量的解

e-k2(t-t0)]

可知，大约0.5 h后，伴随着酒精的脉冲扩散，血液中酒精浓度达到峰值，此时体液中酒精浓度也相应地达到最高。

2 酒后时间控制

根据上述思路进行编程，得出饮用了15 260 mg的酒精后，体液中酒精变化的趋势如图3所示。

图3 体液中酒精含量示意图

根据国家最新颁布的政策，酒后驾驶分两种：

1)100 mL体液中酒精含量达到20 mg但不足80 mg，属于饮酒驾驶;

2)100 mL体液中酒精含量达到或超过80 mg的，属于醉酒驾驶。

由拟合结果可以看出，饮酒后，在时间段[0.081 5 h,13.125 4 h]内，驾车都是属于酒后驾车，而在时间段[0.543 5 h,3.824 5 h]属于醉驾行为。因此，可以得出:饮酒后的13 h内不能驾车;超过13 h后，才符合国家标准。

3 结论

本文在对人体内酒精含量研究基础上建立了具有脉冲扩散效应的时滞微分方程模型。由于喝酒时，酒精并非均匀进入人体，而且酒精的扩散具有一定的时滞。本文利用医药学动力理论建立的二房室模型，模拟药物扩散过程，计算过程清晰。通过理论分析和利用MATLAB数值模拟，对所建立的模型进行了准确的求解，使得结果更加贴近于实际，具有广泛的应用性，为有关部门给出相关建议时，提供依据。