分析与启示：数学素养和数学核心素养的关系

林伟华

摘 要：  以数学素养和数学核心素养二者之间的“关系”为研究对象，证明其相互关系为：均强调数学学科独特的育人作用，强调后天培养性，认同智力和非智力因素的二元统一，共同诉求为数学知识和学习过程中的“终极育人目标”;差异表现在研究背景、特定情景、包含要素、智力和非智力因素的表述方式等方面.研究理清了两个主体之间的逻辑关系，澄清其研究薄弱领域，发现有待强化研究的新问题，对要解决的问题提出新思考.

关键词： 数学核心素养;智力和非智力因素;数学素养

[中图分类号]G642   [文獻标志码]A

Analysis and Enlightenment：

The Relationship between Mathematical Literacy and Core Literacy of Mathematics

LIN Wei-hua1，2

（1. College of Mathematics and Informatics， Fujian Normal University， Fuzhou 350117， China;2. College of Mathematics and Statistics， Minnan Normal University， Zhangzhou 363000， China）

Abstract： Taking the relationship between mathematical literacy and core literacy of mathematics as the object of study， this paper proves that is： the consensus that emphasizes the unique educational role of mathematic subject， the dual unity of acquired cultivation， intelligence and non-intelligence factors， and the ultimate goal of education and other common aspirations such as what kind of person is finally cultivated in the process of mathematic knowledge and learning， shows the differences between their research background， specific scenarios， including elements， intellectual and non-intellectual factors of the expression. The study clarifies the logical relationship between the two subjects， clarifies the weak areas of their research， finds new problems to be strengthened， and gives new thinking to the problems to be solved.

Key words： core literacy of mathematics; intelligence and non- intelligence factors;mathematical literacy

关于数学素养的研究由来已久，是学者较为关注的一个研究主题，尤其是在经济合作和欧盟等国际组织将“数学素养”列入其核心素养观之后[1]，再次将数学素养推向研究高潮.2018年教育部印发的《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，数学核心素养再次成为国内数学教育领域研究的又一个热点.那么，数学素养和数学核心素养概念的两字之差，体现出了什么样的内涵变化，二者的联系与区别是什么，均给人们留下思考和求知的空间.本文从“关系”入手，阐述数学素养与数学核心素养二者之间的关系，通过探讨数学素养与数学核心素养两个研究主体“是什么”和“包含什么要素”的问题，认识二者相互关系.研究以近期有代表性的数学素养概念和教育部认定的“数学核心素养”概念为研究对象，试图理清两个主体之间的逻辑关系，澄清研究薄弱领域，发现有待强化研究的新问题，并对要解决的问题提出思考.

1 数学素养与数学核心素养关系分析

1.1 数学素养

1.1.1 国内学者定义数学素养

数学素养一词最早见于1992的《数学教学大纲》中，随后见诸于不同时期的各种教学大纲和课程标准中.但是，直至《义务教育数学课程标准（2011年版）》之前，这些政策性的文件基本上是倡导“要培养学生的数学素养”的教学理念，均未给出“数学素养”的明确定义.[1]因此，学者对数学素养进行了概念界定和要素划分.何小亚认为，数学素养是指满足学生自身和社会发展所必备的数学方面的品格和能力，是数学的知识、能力、情感态度价值观的综合体.[2]蔡金法认为，数学核心素养包涵数学交流、数学建模、智能计算思维和数学情感四个核心素养成分.[3]桂德怀认为，数学素养是指数学情感态度价值观、数学知识、数学能力的综合体现.[4]数学素养概念的要素见表1.

1.1.2 国外学者定义数学素养

经济合作组织和欧盟将“数学素养”列为核心素养观的一个重要内容 ，从数学素养的某些方面刻画了数学素养的本质和内涵.学者对其概念侧重于外延定义法.如PIS定义的数学素养为：数学素养是一种个人能力，学生能确定并理解数学的作用，能够有效地运用数学做出有根据、有理由的判断.[1]加拿大Saskatchevan定义的数学素养为：学生能够理解和运用数学思想、方法，具备应用中所需要的数学知识、数学技能，并作出正确评价.美国数学教师协会定义的数学素养为：理解数学的价值、对自己的数学能力有信心、具备解决数学课题的能力、学会数学交流和数学推理.为了美国明天的数学素养机构认为：数学素养是一种能力，是技能、知识、信念、思维习惯、交流能力、问题解决能力的集合体，它有助于解决人们工作和生活中常见问题. [17]美国数学学习研究会定义的数学素养为：包涵概念理解、程序流程、策略能力、合适推理、有价值的倾向. 美国《学校数学教育的原则与标准》中提出的数学素养包括数学技能、数学态度、社会能力，具体包括数学价值观的建立，对数学充满自信，应用数学解决问题的能力，数学交流和推理等.德国数学教育标准中的数学素养包涵数学方面的论证、数学建模、数学表征的应用、数学符号、公式以及技巧的熟练掌握、数学交流和解决问题的能力.数学教育特点在芬兰2014年数学课程改革中列举为：数学的问题解决、推理、概念理解和积极态度.新加坡国家教育部门启动的数学测评策略中涵盖数学方面的问题解决、推理、概念理解、技能、交流、自信与兴趣、思维的自我监控.[18]澳大利亚政策研究委员会在国际生活技能调查报告中提出的数学素养为，处理生活与工作过程中数量问题所需要的知识、技能、信念、气质、思维习惯、交流能力等的集合.南非国家数学素养课程报告中，强调数学素养与生活应用息息相关，它可以培育学习者的数字和空间思考能力，学会用数学思维来解释和分析日常生活中的问题，提高解决问题的能力和自信心.中国台湾在提升国民素养专案计划报告中，表述的数学素养为个人的数学能力与态度，能够辨认学习、生活、社会与职业生涯等情境脉络中所面临问题与数学的关系;依据数学知识，运用数学技能，去描述、模拟、解释与预测各种现象;借助数学思维的特长，做出理性分析与判断;在解决问题的过程中，能有效地与他人进行观点沟通.[19]

1.2 数学核心素养

数学核心素养是在“立德树人”的核心素养观背景下提出的，是中国学生发展核心素养体系研究的一个重要分支.经过国内相关研究者的不懈努力，最终在2018年2月《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称为“新课标”）清晰定义了数学核心素养.

1.2.1 数学核心素养定义

国内学者的数学核心素养基本上包涵了智力和非智力兩个方面的要素，详见表2.蔡金法认为，数学核心素养包涵数学交流、数学建模、智能计算思维和数学情感.尤其是在论述数学素养认知成分的同时，强调非认知因素尤为重要.数学知识的认同感、信任感和审美能力等积极性数学情感有助于数学核心素养的发展.[1]马云鹏的数学核心素养观点指学习者在数学实践活动中所应形成的综合性能力，包含数学方面的知识和技能、数学本质与思想.核心素养反映数学本质与数学思想，是基于数学知识和技能，但又超越于具体的数学知识和技能，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性.[20]武小鹏认为，数学核心素养的构建分为知识、能力、情感和经验四个方面.[21]孔凡哲基于核心素养概念“后天习得的、与特定情境相关的、通过人的行为所表现出来的知识、能力和态度，综合表现为学识特征、能力特征、品质特征”的认知基础上，提出针对于我国学生发展的数学核心素养：指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的、起主要作用的数学素养.其内涵有三：一是学生经历数学化活动而习得的数学思维方式;二是学生数学发展所必需的关键能力;三是学生经历数学化活动而形成的数学品格及健全人格.其中，关键能力包括数学抽象能力、数学推理能力、数学建模能力、直观想象能力、运算能力、数据分析观念.心理品格主要包括性格、兴趣、动机、意志、情感等方面.[22]

1.2.2 新课标中数学核心素养定义

新课标中的数学核心素养定义为：“是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合表现，是在数学学习与应用的过程中逐渐形成与发展起来的，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.”[24]详见表3.

新课标将“情感、态度与价值观”这一非智力因素的内容培育，贯穿并融入到数学素养的六个要素的课程学习过程中.如通过高中数学课程的学习，用数学抽象培养学生思维方式和解决问题的能力，用逻辑推理培养学生“重论据、有条理、合逻辑的思维品质和理性精神”，用数学建模来提升学生的“实践能力、增强创新意识和科学精神”，用直观想象培养学生“在具体的情境中感悟事物本质”的能力，用数学运算来养成学生“一丝不苟、严谨求实的科学精神”，用数据培养学生“通过分析数据认识事物的思维品质”. [24]新课标中的数学核心素养，在表述方式上将二者整合在一起，以智力因素为外显、非智力因素为内隐表述.

2 数学素养与数学核心素养的关系

2.1 数学素养与数学核心素养的相同点

第一，数学素养和数学核心素养二者的共同诉求是育人，即数学知识和学习的最终目的是培养什么样的人.无论数学素养的“知识、技能、情感态度价值观”，还是高中生数学核心素养的六要素，其概念上都强调育人的综合性作用.二者均强调全面贯彻党的教育方针，践行社会主义核心价值观，落实立德树人的根本任务.

第二，强调数学学科特征.数学素养是数学学科独特育人作用的外在表现，这已是国内外相关研究者的一个共识.新课标中强调：“数学核心素养‘具有数学基本特征” .[24]史宁中阐释数学核心素养的学科特征：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.[25]数学核心素养的核心在于，从数学的视角发现问题、提出问题并加以分析和解决的综合素养.[22]

第三，强调后天培养性.数学核心素养强调“后天培养”.如新课标提出数学核心素养“是在数学学习与应用的过程中逐渐形成与发展起来的”.[24]史宁中认为，数学核心素养“是一个人‘经过数学教育后应当具有的数学特质”.[25]孔凡哲认为，数学核心素养“是学生‘历数学化活动而习得.”[22]无论是数学素养还是数学核心素养，二者的上位概念“素养”一词强调“后天培养”，体现了教育的育人功能.

第四，智力和非智力因素的二元统一.在数学素养的概念内涵上，表现为“知识、技能、情感态度价值观”三个方面，且将智力因素和非智力因素同等并列，这是国内外学者对数学素养的共识.在数学核心素养内涵上，非智力因素被整合入六大类智力因素中，体现了智力因素和非智力因素育人作用的二元统一.

2.2 数学素养与数学核心素养的不同点

第一，二者研究背景不同.数学素养是基于数学学科特性的研究，是核心素养观的一个重要的组成部分.而数学核心素养是一个本土性概念，这一概念在国内首次提出，是我国大学生核心素养观下的一个重要分支，落实到高中阶段为数学教育应培养什么样的人上.

第二，特定情境不同.经济合作与发展组织（OECD）定义的数学素养指“运用知识、技能和态度满足特定情境中复杂需要的能力”，欧盟的数学素养指“适用于特定情境知识、技能和态度的集合”.[26]数学素养侧重的情境是“课堂教学活动”，而数学核心素养面向的情境是“数学知识应用活动”.张晋宇从系统生成论的角度，论述“核”是一个相对性的概念，关于哪些要素是“核”的判断，应结合具体情境，不应割裂和僵化地看待“核”，这也是系统价值整体涌现性的体现.[27]

第三，要素不同.数学素养包含“知识、技能、情感态度价值观”三个要素.数学核心素养在新课标中表述的六大核心要素有“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”.二者要素的差异源于特定情境的不同：数学素养探讨的是“通过数学教学应该培养学生哪些素养”;数学核心素养探讨的是“在诸多数学素养中有哪些是核心素养”.

第四，智力和非智力因素表述方式不同.虽然数学核心素养和数学素养一样，同样包含智力因素和非智力因素两个方面，但是，表述方式上存在差异.大多数学者将数学素养的非智力因素和智力因素并列表述，非智力因素词条外显;而数学核心素养中非智力因素被整合且内隐于智力因素中，表现出二者不是并列，而是依附式表述.有学者对数学核心素养评价是：“使得学生的数学思维品质、情感、态度与价值观等非智力因素表现的内隐性，而学生的关键能力这类智力因素表现的外显性.”[20]

3 启示

3.1 有待丰富理论研究，尤其是非智力因素的理论研究

通过数学素养和数学核心素养的相关文献梳理发现，虽然二者有着共同的育人目的，但“核心”二字不仅体现了内涵的差异，而且也体现出了已有研究成果的厚薄之处.数学素养，无论是国内学者的视野里，还是国外组织的定义，均包含“知识、技能、情感态度价值观”三个方面的要素.数学核心素养，在国内学者的概念界定中，也强调了知识、技能、情感情感态度价值观”三个方面的要素.从智力和非智力因素的二元分类视野下分析《新课标》数学核心素养，其中智力因素为六大类，各类指标的下一级划分较为清晰，形成一个指标体系或模型框架的雏形.非智力因素被整合并依附于六大类智力因素，相对于智力因素的研究，非智力因素尚需要进一步深挖.鉴于数学核心素养立德树人的独特的育人作用，构建非智力因素方面的指标体系是一个亟待解决的新突破点.

数学素养的非智力因素有待达成共识性的命名.在国内外学者们的不懈努力下，数学素养的三要素基本澄清，智力因素包含“知识、技能”，而非智力因素目前表述较为混乱，学术界对此表述不一.如“数学情感态度价值观”“数学精神”“数学态度”“数学自信和興趣”，等等，各种不同表述.新课标的数学核心素养，对非智力因素的表述也隐含性地“整合”在智力因素中，有待清晰、明朗和概念化.鉴于数学素养非智力因素领域的复杂性，学科上需要一个词条——能涵盖大多数学者认可的非智力因素的词条.

3.2 有待推进实证研究

无论数学素养还是数学核心素养，对其概念化认知的目的，是使这一抽象而模糊的概念变得具体化和可操作化，最终是要付诸于实践——要从丰腴和完善数学素养的理论研究，到推进并落实其实证研究的一个过程.欧美国家在数学素养研究方面已有比较成熟的成果和实践操作，特别是在实践方面，关于数学素养测量、教学方式、教师教育以及学生评价等方面都付诸了实践[15];对数学素养的影响因素、评价等核心内容也进行了相应研究.而国内这方面的研究尚未充分开展，或者说研究数量有限、不够系统.[19]因此，国内相关研究需要重点考虑实证研究，尤其是非智力因素方面，它是个体对数学的感受、内心体验，具备固有的内隐性，增强其外显性和测评的可操作性的显现，任重道远.如何将素养的理论研究推进到实证研究，将是人们需要进一步深入研究的方向.

参考文献

[1]  綦春霞，王瑞霖.中英学生数学素养的比较及其启示[J].比较教育研究，2012（11）：75-80.

[2]  何小亚.学生“数学素养”指标的理论分析[J].数学教育学报，2015（1）：13-20.

[3]  蔡金法，徐斌艳.也论数学核心素养及其构建[J].全球教育展望，2016，45（11）：3-12.

[4]  桂德怀，徐斌艳.数学素养内涵之探析[J].数学教育学报，2008，17（5）：22-24.

[5]  曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1999：17-30.

[6]  王子兴.论数学素养[J].数学通报，2002（1）：6-9.

[7]  朱德江.小学生数学素养的构成要素与培养策略[J].学科教育，2004（7）：27-31.

[8]  郑强等.论数学课程标准中的数学素养观[J].山东教育学院学报，2005（5）：1-17.

[9]  张亚静.数学素养：学生的一种重要素质——基于数学文化价值的思考[J].中国教育学刊，2006（3）：65-67.

[10]  苏洪雨，江雪萍，桂鹏.基于几何问题情境的高中教师的数学素养研究[J].数学教育学报，2010，19（1）：81-85.

[11]  朱长江.谈谈如何提高大学生的数学素养[J].中国大学教学，2011（11）：17-19.

[12]  戴雄燕.变式教学对初中艺术生数学素养的培养研究[D].长沙：湖南师范大学，2011.

[13]  潘小明.基础教育阶段学生数学素养的四维一体模型[J].教育与教学研究，2012，26（10）：91-95.

[14]  张奠宙，胡晋宾.弹指二十年，《导引》谱新篇——《数学教育研究导引（二）》导读[J].中学数学教学参考旬刊，2013（8）：61-63.

[15]  王光明，张楠，周九诗.高中生数学素养的操作定义[J].课程.教材.教法，2016，36（7）：50-55.

[16]  王娅婷.多维项目反应理论在小学生数学素养诊断中的应用[D].成都：四川师范大学，2017.

[17]  栾慧英.八年级学生代数素养现状测评研究[D].郑州：河南师范大学，2016.

[18]  徐斌艳，蔡金法.关于数学素养测评及其践行[J].全球教育展望，2017，46（9）：13-24.

[19]  陈蓓.国外数学素养研究及其启示[J].外国中小学教育， 2016（4）：17-23.

[20]  马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程.教材.教法，2015（9）：36-39.

[21]  武小鹏，张怡.“数学核心素养”内涵的再认识[J].上海教育科研，2018（7）：16-20.

[22]  孔凡哲，史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J].教育科学研究，2017（6）：5-11.

[23]  张维忠，程孝丽.数学核心素养视角下民族建模的特点与构建过程[J].当代教育与文化，2016，8（4）：37-40.

[24]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[25]  史宁中，林玉慈，陶剑，等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J].课程.教材.教法，2017（4）：8-14.

[26]  褚宏启.核心素养的概念与本质[J].华东师范大学学报：教育科学版，2016， 34（1）：12-15.

[27]  张晋宇，马文杰，鲍建生.数学核心素养系统的演化、结构和功能[J].基础教育，2017，14（6）：67-74.