竞赛中的二次函数问题

安徽省砀山中学 (235300) 李秀丽

二次函数是一类常见函数模型，并且二次函数与二次不等式、二次方程相互联系、相互渗透组成了一个特殊的“知识板块”，这个“知识板块”内容丰富，技巧性强，能较好地考察学生的能力，在近年数学竞赛中屡见不鲜，现把二次函数有关问题总结如下，仅供参考.

1.求二次函数解析式

评注:在求二次函数解析式时，要充分挖掘其图像的几何性质，然后灵活选用二次函数解析式，可优化解题过程.

2.二次函数在闭区间上的最值

3.二次函数与二次不等式

例3 已知当x∈[0,1]时，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0恒成立，试求θ的取值范围.

评注:二次不等式恒成立问题是难点问题之一，在求解此类问题时若巧妙借助二次函数图像与性质，可简化解题过程.

4.二次函数与二次方程根的分布

令f(t)=2t2-4at-a+1,

评注:解一元二次方程实根分布问题借助二次函数图像与性质，建立相应的不等式(组)求解，可使问题直观、简捷.

5.构造二次函数模型

评注:二次函数是一类常见的函数模型，巧妙地构造二次函数，常会使一些数学难题迎刃而解，达到出奇制胜，事半功倍的效果.