两类导数证明题型方法探究

江苏省常熟外国语学校 (215500) 丁 剑江苏省常熟市中学 (215500) 吴旭红

在导函数复习和测试的过程中，有两类导数证明题学生在处理上有一定的困难，本文针对这两种题型，进行剖析，归纳出解题的一般方法，供同行和学生参考学习．

题型一用已知函数单调性证明

(1)求函数f(x)的单调区间；

例2 2017-2018学年第一学期高三期中调研23(2017.11)

(1)若不等式(x+1)ln(x+1)≥ax对任意x∈[0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；

解析：(1)易求得a≤1.

例3 已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx+1(x≥1).

(1)求函数h(x)=f(x-1)-g(x)(x≥1)的最小值；

(2)已知1≤ylnx-lny;

(2)由(1)可知，当x≥1时，h(x)=ex-1-lnx-1≥0,∵1≤y

∵1≤ylnx-lny.

剖析：此类证明基本使用前一问的条件，赋值，满足范围即有单调性，则可以用上一问结论．例1若没有第二问铺垫，直接证第三问，可能加深难度．例2测试时利用第一问结论进行论证的不多，少部分同学按法1用裂项完成，极少数移项构造数列根据单调性证明．例3两次利用前面的结论，结合了不等式的递推性质证得．

题型二与两个零点相关不等式型的证明

(一)和型

例4 (不含字母指数型)过点P(-1,0)作曲线f(x)=ex的切线l.

(1)求切线l的方程；(x-y+1=0)

设f(x)=(x+1)ex，则f(x1)=f(x2)．f′(x)=(x+2)ex，当x<-2时，f′(x)<0，当x>-2时，f′(x)>0；

∴f(x)在(-∞,-2]上单调递减，在[-2,+∞)单调递增．

∵x1≠x2，不妨设x1<-2,x2>-2.

设g(x)=f(x)-f(-4-x)，则g′(x)=f′(x)+f′(-4-x)=(x+2)ex(1-e-2(2+x)),当x>-2时，g′(x)>0，g(x)在(-2,+∞)单调递增，∴g(x)>g(-2)=0，即当x>-2时，f(x)>f(-4-x).∵x2>-2,∴f(x2)>f(-4-x2),则f(x1)>f(-4-x2).∵x1<-2,x2>-2,∴-4-x2<-2,且f(x)在(-∞,-2)单调递减，∴x1<-4-x2，即x1+x2<-4．

例5 (含字母指数型)已知函数f(x)=(x-k-1)ex(e为自然对数的底数，e≈2.71828,k∈R)．

(1)当x>0时，求f(x)的单调区间和极值；

(2)①若对于任意x∈[1,2]，都有f(x)<4x成立，求k的取值范围；

②若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2<2k.

解：(1)(2)①略．

②由已知f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，结合(1)可知k>0,f(x)在(-∞,k)上单调递减，在(k,+∞)上单调递增，又f(k+1)=0，∴xk,2k-x1>k.故要证x1+x2<2k，只要证2k-x1>x2，只要证f(2k-x1)>f(x2)．

例6 (不含字母对数型).常熟市2018届高三阶段性抽测二(2017.12)

∵x1>x2,∴x1∈(1,+∞),x2∈(0,1),

∴2-x2∈(1,+∞).

∵x2∈(0,1),∴f(2-x2)2.

∴x1+x2>2.

(二)积型

例7 (含字母对数型1)苏州市2017届高三调研测试(2017．01)

已知函数f(x)=(lnx-k-1)x(k∈R).

(1)当x>1时，求f(x)的单调区间和极值；(当k≤0时增区间是(1,+∞)，无单调递减区间，无极值;当k>0时，减区间(1,ek)，增区间(ek,+∞)，极小值f(ek)=-ek，无极大值．)

(3)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1x2

解析：(3)(法1)因为f(x1)=f(x2)，由(1)知，函数f(x)在区间(0,ek)上单调递减，在区间(ek,+∞)上单调递增，且f(ek+1)=0.

(法2)要证x1x2

例8 (含字母对数型2)已知函数f(x)=x-alnx(x∈R+),a为实数，若f(x)有两个零点x1,x2且x1e2.

解析：(1)、(2)略.(3)(法1)f(x1)=x1-alnx1=0①,f(x2)=x2-alnx2=0②,①+②，得x1+x2=alnx1+alnx2=alnx1x2.

要证x1·x2>e2，只要证x1+x2>2a，即证x2>2a-x1.

由(1)f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．又x1a，只要证f(2a-x1)>f(x2).

∴x2·x1>e2.

∴x2·x1>e2.

例8的法1通过分析法书写，取对数后转换成和式，构造差式函数(不妨称之为极值点构造法)处理，法2更为明晰，用已知零点所得等式，加减后处理，消去a，然后类似例7的法2换元证得，这里需要一定的转化技巧.教学时可通过范例，让学生深谙其解法，并灵活运用之.

结语：本文两类导数证明题属于难度较大的题，需要了解其本质：题型一用原函数单调性，赋值处理；题型二分为两类解法，极值点构造法和换元求导法．