一道美国数学奥林匹克题的另证

湖南师范大学数学与统计学院 (410081) 张 卫 吴 乐

原题ΔABC具有下面性质：存在一个内部的点P使得∠PAB=10°，∠PBA=20°，∠PCA=30°，∠PAC=40°.证明：ΔABC是等腰三角形.

此题来源于第25届USAMO，文[1]给出了此题的几何解法.原解法是通过构造一系列辅助线来完成的，这种解法对考生的解题技巧以及思维能力有很高的要求，一般的学生很难想到此方法.本人结合题目的特点，利用三角函数的知识，给出了此题一个很自然的解法.

下面给出此题的三角函数证明方法.

证明:记∠PBC=α，∠PCB=β，PA=a′，PB=b′，PC=c′.

另一方面，在ΔABC中，又有

故由②和③可得sin(20°+α)sin40°sin100°=sinαsin110°sin50°.④

反复利用积化和差公式以及余角公式，可最终将④式化为sinαsin10°+cosαsin80°+sinαsin50°-cosαsin40°=sinαcos60°-cosαsin60°+sinαsin70°+cosαsin20°⑤

整理得sinα(sin10°+sin50°)+cosα(sin80°-sin40°)=sinαsin70°+cosαsin20°+sin(α-60°).⑥

再注意到上式中角与角之间的关系，可在①式中取θ1、θ2为适当的值得到如下关系式

代入⑥，进一步化简成sin(α-60°)=0.

由于α∈(0,180°)，所以α=60°，β=180°-∠BPC-α=20°，继而有∠C=50°=∠A，BA=BC，得证.

评注:上述解法充分考虑了题目的特点，利用三角函数中积化和差等知识，推出三角形中存在两内角相等，比原解法更容易上手.