加强数学思想渗透 促进综合能力提升

吴睿玲

(合肥市第十七中学 安徽合肥 230022)

引言

在利用导函数研究函数的单调性时，往往存在一种类型的问题：含参数不等式的分类讨论问题。导函数是高中数学中的一个难点，而分类讨论又是难点中的难点，往往位于压轴题中。学生在分类讨论这块尤为薄弱，不清楚该怎样去分类，甚至无从下手。于是，老师的讲解显得尤为重要!题型分析的条理性可直接影响学生的解题思路。

我们在研究这一问题时，抓住其本质离成功就更进了一步。本质上就是含参数方程及不等式的解的分类讨论。大部分情况下，求导之后，经过整理、化简，所得的方程(不等式)基本上可归纳为：含参一次、二次型不等式及含指、对数的不等式。这样分析下来，我们知道对函数的单调性的讨论其本质即是对含参不等式f′(x)>0(f′(x)<0)解的讨论。找到了解决这类问题的关键，后面的教学也就顺理成章了。结合这些年的教学实践，要做好这块的教学工作，有如下几点需要注意。

一、层层渗透，在基础教学中注重细节教学

含参不等式、方程的求解，自我们高中数学学习的开始，便有所涉及。甚至初中我们便学习过含参的一次方程的求解问题。高一上学期，我们基本上都在学习函数，里面就有很多含参的一次、二次方程的求解问题，课本复习题中也有所涉及。如必修一课本中第44页的复习题第四题及第九题，均是含参问题。其中第四题是含参的一次方程问题，而第九题则与二次函数有关。教学中，我们可以立足这些问题，让学生回忆总结，我们再加以引导、拓展。将这些问题拓展成一个专题，对学生而言，足以留下一个较深的印象。

教师在教学时应该有意识地加重这块的教学力度，让学生足够的重视，从而打下第一重基础。在指、对数的教学中，也可穿插一些含参的不等式与方程，于教学中层层渗透分类讨论的思想。从高一时期开始便让学生接触并去尝试分类讨论，利用所学去解决问题，提高学生解决这类问题的信心与能力。这样，当我们在讲解与导函数相关的题型时，不会感到过分的陌生，也有了解决这类含参问题的信心，给我们的教学减轻了不少负担。

二、问题提出须层层递进，增强学生分析问题的能力

课堂教学中，教师的提问很有讲究。层层递进式的提问，能激发学生思考问题、探究问题、解决问题的积极性。教师主导好课堂，有效地去发问，让学生随着问题的提出去思考，逐步去解决问题。

例1 已知函数f(x)=x3-ax-1，试讨论f(x)的单调性。

解：先求导f′(x)=3x2-a，

令f′(x)=0得3x2-a=0，

这个方程的根的情况如何？有的学生可能会本能性地直接移项得3x2=a，

这个方程有没有解?大家很容易会想到要将a跟0作大小比较。这样解无可厚非，却忽略了问题本质，错失归纳此种问题的良好时机。学生都有先入为主的思想，教师的讲解最好从通用的方法开始，将这类问题归为一类，这样学生下次碰到相似类型时就会知道往一个方向去想。所以此处我们可先让学生从方程的角度来思考：这是什么方程？一元二次方程的解又可以用什么来判断呢？学生便可很自然地归纳、总结这类问题。具体可设计如下：

问：这个方程是关于x的什么方程？

生：一元二次方程。

问：更准确地来说，是个什么样的一元二次方程？

生：含参的一元二次方程。

问：回忆二次不等式的求解过程，我们先得看相应的二次方程是否有根，那么，如何判断二次方程的根的情况呢？

生：根的判别式。

于是学生很容易想到含参二次方程的求解方法，从而进行分类讨论。

具体过程如下：Δ=12a,

(1)Δ≤0即a≤0时，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R上单调递增，无单调递减区间;

(2)Δ0即a0时，f(x)在上单调递增,在上单调递减。

在这题中，我们进一步提问：结合必修五含参一元二次不等式的恒成立问题，你能说说这个函数在定义域中是否可以具有单调性？问题一经提出，学生们会不由自主地去回忆关于这块知识点的知识储备，促进了知识点的纵向迁移与内省，从而达到升华。这道题在导函数的分类讨论中只能算作一道简单题，在讲解中很容易因为它的简单而一带而过。但是我们完全可以引导，甚至进一步加以变形，让难度一步步加深，做到由点及面，将问题完整化。

三、注重函数的概念课教学

概念课是数学课教学中的一个难点，函数的概念课教学又是相当难的一个难点，也是学生刚踏入高中大门便遇到的数学问题中的第一个难点，尤其对于初中函数没学好的学生而言，更是灾难。往往概念模糊不清，三要素理解不到位，如何求解函数的定义域与值域一知半解，等等这些终将是后期学习的一个巨大隐患。尤其在导函数的学习中，可能会随时犯错，出现问题。如作与对数函数相关的图像时不注意定义域而使图像与y轴相交，不熟悉指数函数的值域，而致使图像上下无限制的延伸等等。而在到函数的分类讨论问题中，函数的定义域也是常常被学生所忽略。

例2 已知f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，讨论f(x)的单调性。

化简导函数后，发现分子可直接因式分解。

对于这两个根，我们都得考虑一个问题：是否在定义域范围内？倘若忽略，直接影响到后面单调性结论的总结。那么这道题的得分也就失之可惜了。

四、加强学生数形结合思想的培养

数学是具有很强逻辑性的一门学科，各知识点间的联系非常紧密。函数作为高中数学的基础，与其他的知识点更具有着密不可分的联系，学好函数有利于其他知识点的融合与拔高。而想要学好函数，数形结合的思想是少不了的。须在平时的教学中加以渗透。如与指、对数有关的无论是方程还是不等式,求导化简后,都得结合这两种函数的性质来解。如对数函数的定义域,指数函数的值域都是不能忽视的。在此基础上,结合函数的单调性来解不等式。等等这些都少不了图像。

例3f(x)=ex(ex-a)-a2x，

讨论f(x)的单调性。

解：求导并整理f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)，

令f′(x)=0，即2ex+a=0或ex-a=0。

师:上面两个方程应该怎么解?指数函数的函数值有什么特点?

生:函数值均为正数

这道题中的方程就不太好解，得结合指数函数y=ex的图像及性质，来解决这类的含参问题。此时，图像就显得尤为重要！这样看下来，我们会发现，平时的拓展与渗透非常的重要。平时的教学中，在解题的同时注重函数图像的画法教学，强调数形结合，在导函数的教学中，画图，从图中研究性质就不显得那么难以理解了。

五、立足课本，注重课本例题、习题的讲解

我们的高考具有一个共同点：与课本联系很紧密，很多试题来自于课本例题与习题的改编。几乎每年都会出现与课本例题或习题特别接近的题型。如2012、2016年的填空题的最后一道均来自于课本的例题的改编，还有2015年的统计题同样是书本例题的改编，等等。既立足于课本又高于课本。在与导函数有关的题型中，有时甚至是直接用到了课本例题及习题中的结论。

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3，f(x))处的切线方程

(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx

讨论g(x)的单调性并判断有无极值，若有，求出极值

求导g′(x)=x2-ax-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx)(x>0)

令g′(x)=0，得x1=a,x2=0,

(这里有个重要结论的应用：当x>0时，x>sinx；当x<0时，x

这个重要结论其实就是来源于课本选修教材第99页B组习题的证明题(1)。此外，同样是这组证明的其他小题，依旧备受命题老师的青睐，往往被拿来变形，或是直接利用，成就一道高质量的高考题。所以说，立足于课本真的有它的必要性，注重课本中例题与习题的讲解，为学生积累些知识储备，做到厚积薄发。教师在平时的授课中，也可作适当的改编，提高学生的学习兴趣。

通过上面的分析、归纳与解题实践可以看出，含参的函数的单调性的讨论其实并没有那么复杂。教师平时做到层层渗透，注重学生各方面能力的培养，打好学生的基础。在上课时,合理地设置好问题,循循善诱引导学生去思考是非常重要的!只要归好类，将问题转化为含参的方程或不等式问题，再借助一些相关基本初等函数的性质，是不难解决的。知道了解决这类问题的常规方法，实现对这部分内容的突破也并非难事。