浅谈闭区间上连续函数的性质

王云巍

摘 要：本文主要了解了闭区间上连续函数的一些性质，包括最值的可达性和有界性，介值性与根的存在性，并对这些性质在开区间上做相应推广。

关键词：闭区间；开区间；连续函数；最值的可达性；有界性；介值性；根的存在性

定义1[1]若函数f（x）在开区间（a，b）上连续，在a点右连续，在b点左连续，我们就称函数f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数.

连续函数所具有的局部有界性、局部保号性等性质，闭区间上的连续函数自然都具有，但它既然有闭区间这个特殊性，又具有哪些自己独特的性质呢？下面我们就来讨论闭区间上的连续函数所具有的几个基本性质及其在开区间上的简单推广，以提高大家对这些性质的认识，扩大应用范围。

一、最值的可达性和有界性

定理1 （有界性定理） 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连續，则f（x）在闭区间[a，b]上有界.

定理2 （最大、最小值定理） 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定有最大值与最小值.

连续函数在闭区间上的有界性和最值可达性在很多问题的证明中都起到一个切入点的作用，比如积分第一中值定理和罗尔中值定理的证明。这两个性质固然好，但两个硬性条件缺一不可，一个是闭区间，一个是连续函数。我们自然会考虑，如果条件有所减弱，这两个性质是否成立呢？下面我们来看开区间上的连续函数在什么条件下也具备这两个性质。

推论1 函数f（x）在开区间（a，b）上连续，且在a点存在右极限，在b点存在左极限，则f（x）在（a，b）上有界.

证明：设f（x）在a点的右极限为A，在b点的左极限为B，补充定义f（a）=A，f（b）=B，则f（x）在a点右连续，在b点左连续，从而函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，由定理1知，f（x）在闭区间[a，b]上有界，因而在开区间（a，b）上有界。

推论2 函数f（x）在[a，+∞）上连续，且存在，则f（x）在[a，+∞）上有界.

证明：由函数极限的局部有界性知，存在正数M，当X大于M时，函数f（x）有界，而f（x）在闭区间[a，M]上连续，由定理1知，f（x）在[a，M]上有界，从而函数在区间[a，+∞）上有界。

推论3 函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，且与都存在，则f（x）在（-∞，+∞）上有界.

该证明过程与推论2类似，此处省略。

由有界性定理与最值定理的关系，试想上述三个推论的结论是否可以换成f（x）在相应的区间上可以取到最大值与最小值呢？显然推论1与推论3是不成立的。对于推论1，我们可以很容易地找到一个反例，比如正比例函数。对于推论3，我们也可以找到反例，比如反正切函数y=arctanx，在定义区间上满足条件，但却永远取不到最值。而对于推论2中的条件，我们有以下推论。

推论4 函数f（x）在[a，+∞）上连续，且，则f（x）在[a，+∞）上至少可以取到最大值与最小值中的一个.

证明：此证明分三种情况讨论

情况1：f（x）≡A，结论显然成立。

情况2：定义区间中存在一点x0，使得f（x0）>A，则由函数极限的局部保号性知，存在正数M，当X大于M时，所有的f（x）都小于f（x0），故函数f（x）在[a，+∞）上能取到最大值。

情况3：定义区间中存在一点x0，使得f（x0）

二、介值性与根的存在性

定理3 （介值性定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），则对介于f（a）与f（b）之间的任何实数μ，至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）=μ.

定理4 （根的存在性定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

定理4可看成是定理3的一种特殊情况，从几何意义上看，根的存在性定理说明若连续曲线弧的两个端点位于x轴上下两侧，则这段弧至少与x轴有一个交点。这两个定理的应用十分广泛，可用来解决方程根的存在性问题，判断方程根的个数和范围等问题。在此，我们考虑根的存在性定理的一种推广，以便于我们解决方程根的问题，那么在开区间上的连续函数满足什么条件可以保证根的存在性呢？

推论5 函数f（x）在开区间（a，b）上连续，且，满足，则至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

证明：补充定义f（a）=A，f（b）=B，则f（x）在a点右连续，在b点左连续，从而函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，由定理4知，f（x）=0在（a，b）内至少有一根。

通过以上的讨论可以发现，闭区间上连续函数的性质可以延拓到开区间上，扩大了应用的范围。由此我们可以受到启发，对数学中的很多定理要多加探究，大胆猜测并努力证明，这样才可以对知识有更深入的了解。由于本人的知识水平和能力有限，对定理的推广并不是十分深入和全面，还有待提高。

参考文献：

[1]华北师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2008.