全国高考Ⅰ卷导数试题解析及复习思路

2018-08-22 10:17边红霞
中学生数理化·教与学 2018年7期
关键词:考试题交点零点

边红霞

近年来,全国高考新课标I卷中的导数解答题,其特点是全面考查学生的数学素养,信息量大、综合性强、灵活性高.根据统计,这种题得分率并不高.但它往往在是第21题的位置,又有别于压轴题,所以,如果有足够的知识积累,解决这道题还是比较顺畅的.笔者对2016年全国I卷导数试题进行解析,并谈谈导数部分的复习思路.

一、 试题再现

已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

解析:(1)略.

(2)令f(x)=0,即ae2x+(a-2)ex-x=0,有a=2ex+xe2x+ex.

令h(x)=a,g(x)=2ex+xe2x+ex,问题转化为函数h(x)与g(x)的图象有两个交点,g′(x)=(2ex+1)(1-x-ex)ex(ex+1)2.

当x<0时,g′(x)>0;当x>0时,g′(x)<0.于是,在x=0处g(x)取得极大值:g(0)=1.

当a≥1时,h(x)=a与g(x)至多有一个零点,不符合题意;

当a≤0时,由于当x≥0时,g(x)>0,而当x<0时,g(x)是单调递增,所以h(x)=a与g(x)至多有一个零点,不符合题意;

当0a,且g(x)在(-2,0)上单调递增,所以h(x)=a与g(x)在(-2,0)上有且只有一个交点.

另一方面,取x0=ln3a,有

g(x0)=2ex0+x0e2x0+ex0<3ex0e2x0=3ex0=a.

在(0,ln3a)上有g(0)>a,g(ln3a)

综上,当0

二、试题特点

一套试题要具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度,既要考查考生的共同基础,又要满足选拔要求.近年的高考导数问题很好地贯彻了这一宗旨.试题既有对基础知识的考查,如函数单调性、极(最)值、零点、导数的几何意义,又有综合性考查,如求参数范围、证明不等式等.

1.注重对基础的考查

《考试大纲》对“导数及其应用”的要求为:了解导数的实际背景;通过函数的图像直观理解导数的几何意义;能利用导数公式及四则运算求简单函数、简单复合函数的导数;能利用导数确定函数的单调区间、极值、最值.如2015年21题第一问,考查导数的几何意义,确定曲线的切线方程.

2.注重通性通法的考查

注重通性通法,淡化特殊技巧.2016年、2017年都考查了已知函数有两个零点求参数的取值范圍.当参数对运算没有造成很大障碍时,可以直接求解;当参数在函数式中多次出现,阻碍了运算时可采用分离参数法.

3.注重思想方法的考查

近年的高考试题,都考查了分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、函数与方程思想等.

三、备考策略

1.立足教材 夯实基础

历年高考试题中,中低档题占80%,所以立足教材、夯实基础是关键.如果打不好基础,解题将寸步难行,能力更无从谈起.因此,在复习导数时,一定要立足教材,掌握导数的概念、导数的几何意义、导数的运算法则,会求函数的极值、最值、单调性、零点、切线方程,将基础知识学深学透.这是解决导数问题的根本.

2.善于归纳 提升能力

要研究近几年的导数高考试题,从中发现规律,并总结每一类问题的处理方法,分别进行有针对性的复习.比如近几年的导数问题,题干中给出的函数都含有参数,都涉及求参数范围,都围绕函数的零点提出问题.因此,复习时一定要集中火力复习函数零点问题,专题分析求参数范围问题,在解决这些问题的过程中提升能力.

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