边红霞
近年来,全国高考新课标I卷中的导数解答题,其特点是全面考查学生的数学素养,信息量大、综合性强、灵活性高.根据统计,这种题得分率并不高.但它往往在是第21题的位置,又有别于压轴题,所以,如果有足够的知识积累,解决这道题还是比较顺畅的.笔者对2016年全国I卷导数试题进行解析,并谈谈导数部分的复习思路.
一、 试题再现
已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解析:(1)略.
(2)令f(x)=0,即ae2x+(a-2)ex-x=0,有a=2ex+xe2x+ex.
令h(x)=a,g(x)=2ex+xe2x+ex,问题转化为函数h(x)与g(x)的图象有两个交点,g′(x)=(2ex+1)(1-x-ex)ex(ex+1)2.
当x<0时,g′(x)>0;当x>0时,g′(x)<0.于是,在x=0处g(x)取得极大值:g(0)=1.
当a≥1时,h(x)=a与g(x)至多有一个零点,不符合题意;
当a≤0时,由于当x≥0时,g(x)>0,而当x<0时,g(x)是单调递增,所以h(x)=a与g(x)至多有一个零点,不符合题意;
当0a,且g(x)在(-2,0)上单调递增,所以h(x)=a与g(x)在(-2,0)上有且只有一个交点.
另一方面,取x0=ln3a,有
g(x0)=2ex0+x0e2x0+ex0<3ex0e2x0=3ex0=a.