分类讨论思想在高中数学解题中的应用

熊瑞宾

随着素质教育的深入、普通高中新课程标准的实施，要求高中数学老师在教学过程中将培养学生的实际能力放在首位.这对于教师固有的教学思想提出了一定的挑战.本文探讨的是分类讨论的数学思想.学生在解题时运用这种思想方法，可以将问题化难为易、化繁为简.

一、对分类讨论思想的认识

1.分类讨论思想的原理

在数学上经常会有这种情况：一道题因为受条件的限制，答案存在多种情况.在这种情况下，就要对题中的条件进行分析，然后加以分类，再逐步分类求解，最后再进行综合得出解.这就是通常意义上的分类讨论法.分类讨论法，是一种逻辑性很强的方法，它体现了化整为零、集零为整的思想.因为分类讨论法极具综合性、探索性，能够训练学生的思维能力，所以它在数学题的解题中有广泛的应用.[1]

2.分类讨论法的要求

在使用分类讨论法时，一般需要满足两个条件：一是要保证分类不遗漏；二是要保证分类不重复.在同时满足这两个条件时，才能科学、准确地使用分类讨论的方法.

3.分类讨论思想的原则

在使用分类讨论法时，必须遵循一定的原则进行.一般来说，我们在整个中学阶段使用以下四个原则：同一性原则、互斥性原则、相称性原则、层次性原则.同一性原则，即分类时要按照同一标准；互斥性原则，即分类后的每个子项目之间互不干涉互不相容；相称性原则，即分类的部分总和应当与没有分类前的总和相同；层次性原则，即分类要分层，有一级层次和二级层次之分.

二、分类讨论思想在高中数学解题中的应用

例1若函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是.

解析：设函数y=ax（a>0且a≠1）和函数y=x+a，则函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，就是相当于函数y=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点.

由图象可知，当01时，因为函数y=ax（a>1）的图象过点（0，1），而直线y=x+a的图象与y轴的交点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点.

综上，实数a的取值范围是a>1.

例2已知双曲线的渐近线方程为y=±34x，则双曲线的离心率为.

解析：（1）当双曲线焦点在x轴上时，

ba=34.

∴b2a2=c2-a2a2=e2-1=916.

∴e2=2516，e=54.

（2）当双曲线焦点在y轴上时，

ba=43.

∴b2a2=c2-a2a2=e2-1=169.

∴e2=259， e=53.

综上，所求离心率的值为53或54.

通过对上述例子的分析，不难看出在利用分类讨论的思想解决问题时，一定要谨慎，因为某一部分的出错，可能会导致整个运算的错误.当然，能够运用到分类讨论法的题型还是相当多的，在这里就不一一列举了.

总之，分类讨论的思想在多个学科中都有十分广泛的应用.教师在培养学生的解题能力时，要在日常的教学过程中，慢慢地将这种方法渗透给学生，并注意让学生自己多在解题实践中进行运用.

參考文献：

[1]朴希兰. 分类讨论思想在高中数学教学中的应用[D].延边大学，2015.

[2]邵建平. 分类讨论思想在高中数学中的应用[J]. 数理化学习，2011，（10）：2-3. [2017-09-15].