高中数学教学中突破数学思维障碍的实践与思考

摘要：高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，引导学生会学数学、会用数学;在教学中，教师应结合相应的教学内容，转变教学方式，改进学生的学习方式，以问题的解决为途径，突破数学思维障碍，提高学生解决问题的能力，发展学生的思维能力.

关键词：思维;高中数学教学;问题解决

引言：《2016版高中数学新课程标准》指出，高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，引导学生会学数学、会用数学;在教学中，教师应结合相应的教学内容，培养学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.数学问题解决的差异代表了不同的数学思维表现形式，从数学问题解决的角度分析，数学思维总是指向问题的分析、问题的变换和问题的最后解决[1].在数学教学实践中，笔者发现很多学生在数学学习中都遇到过这些困惑：有些题目一听老师讲解或一看答案，就明白了，但自己做题时却怎么也想不出来;还有很多学生在考试中，曾做过的原题，能正确解答，题目稍作改变，就不知如何下手了;更有甚者，对曾做过、老师也讲过并且当时也听明白了的题目，隔段时间再遇到还是不会.这说明，学生虽然学会了题目的不少具体解法，但并没有真正提升数学思维，在问题的解决过程中还是遇到了数学思维障碍.因此，转变教学方式，改进学生的学习方式，以问题的解决为途径，突破数学思维障碍，提高学生解决问题的能力，发展学生的思维能力;既是新课程标准的要求，也是改变学生的数学学习现状、促进学生可持续发展的需要.

一、追本溯源，打好思维发展的基础，培养学生思维的严密性

数学概念是数学思维的细胞，是数学解题能力的根本所在[2]笔者在教学实践中发现，凡是游离在主题概念之外“规定”的地方，往往是学生在解决问题时，想不到和考虑不全的地方.例如，子集的概念中，规定了空集是任何集合的子集，在解决子集的有关问题时，学生就往往漏掉集合是空集的讨论.共线向量的概念中规定了零向量与任何向量是共线的，在解决向量共线的有关问题时，学生就往往漏掉向量为零向量的讨论.此外，很多学生在学习数学概念和定理时，只重结论，轻视条件，导致应用时出现错误.如，在研究直线与圆锥曲线关系的有关问题时，直线与圆锥曲线方程联立、消元后，往往会想不到二次项系数是否为零的讨论.再如在已知数列前 项和 求通项 时，想不到 的条件，忽略了 时的情况;在等比数列求和时忘记 时的特殊情况.因此，在数学教学时，要特别重视概念和定理教学时的“第一次”，第一次就要让学生通过探究、试误等对概念和定理有一个正确的、完整的认知，并在应用中不断强化和反思.

二、一题多解，突破惯性思维，培养学生的发散思维和思维的灵活性

一题多解是突破学生惯性思维，培养发散思维的好方法，在教学中，教师要启发引导学生从不同的角度审视问题，不断合作探究出更多更好的解决问题的方法，让学生在有限的时间里，从不同角度思考问题，活跃思维，开阔视野，从而突破惯性思维，提升学生的思维能力和运用知识灵活解决问题的能力.

例1、设 ，若 恒成立，求正实数 的取值范围.

解析：原命题等价于 恒成立，求正实数 的取值范围.

角度1：构造函数，转化为函数最值问题，这个角度学生容易想到，但需要分类讨论.

令 ，通过 研究函数 的最小值分两类求解.

角度2：能否避开分类讨论？注意到条件 ，可以变量分离，通过研究 的图象与 的关系解决问题.

三、一题多变，引导学生深度思考，培养学生思维的全面性和严谨性

一题多变，可以变设问也可以变条件，变设问探究可以引导学生深度挖掘在同一条件下所涉及的各方面问题，通过多角度的问题解决，培养学生思维的全面性;在数学问题中一个条件的细小变化就可能引起结果和解决过程的很大差异，变换条件探究可以引导学深度思考，加强学生对知识间联系的认识，培养学生思维的严谨性.

例2、已知 的三个内角 对应的边分别是 且 ，

求 周长的取值范围.

解析：利用正弦定理把周长转化为角 的函数 ，其中 ，可求得 .

这个问题解决后，可以通过条件的等价变，加强变，以及条件不变的情况下，多个出题方向的探寻，引导学生不断思考、进一步探究.

变条件

（1） 条件改为等价条件角 成等差数列，

（2） 条件改为等价条件

（3） 条件改为等价条件

（4） 条件改为等价条件

（5） 此条件加强为条件 ，且 为锐角三角形.求解时在原题的基础上角 的范围变成了 ，同理可求的 .

变设问

（1）求 面积的取值范围.可转化为函数 来求解.

（2）求 的取值范围. 可转化为函数 来求解.

（3）求 型表达式的取值范围. 可转化为函数 型函数来求解.

（4）求 边上的高的取值范围. 可转化为函数 来求解.

（5）若 ， 的面积为 求 的最小值.可由三角形面积公式和余弦定理来求解.

四、角色转换，提高学生思维的独立性，培养学生的批判性思维

通过创设情境，把由老师点评学生的错误点，转换为由学生找错在哪里？并点评，由老师讲转换为学生讲，可以激发学生思考的原動力，提高学生思维的独立性与严密性，进而也培养了学生的批判性思维.

例3、已知函数 ，若函数 有两个零点，求 的取值范围.

教学中教师可先展示一个解析过程：原命题等价于 有两个解，令 ，等价于 与 有两个交点. ，令 ，当 时 ，且 在定义域上单调递减，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，得到 的最大值为 ，故 .

然后由学生思考、讨论、评判以上解析是否正确，若不正确，指出错在哪里？由学生合作探究出错误的原因在于忽视了该函数图像的“渐近线”，误认为当 时， 而实际上应该是 . 的图象应该如图所示：

正确答案是：当 时， 有2个零点.

五、注重数形结合和直观想象，利用形象思维突破抽象思维障碍

数学的概念、命题本来是抽象的，學习理解时就会有一定的障碍，而形象思维恰恰可以打破这种障碍[1].例如，利用韦恩图、数轴等来研究集合之间的关系问题，就可以具体形象的突破抽象思维的障碍.再如，在学习数学归纳法原理时，很多学生理解上会遇到困难，在教学中可利用多米诺骨牌来形象的帮助学生理解该原理.另外，在习题教学中注重数形结合和直观想象，也能起到事半功倍的效果.

例4、（2018届潍坊高三期末考试）在如图所示的平面四边形ABCD中， 为等腰直角三角形，且 ，则 长的最大值为 .

问题分析：常规思路是构造BD的函数，用函数的最值来解决，设 ，建立函数模型 ，从而得到答案;但如果引导学生抓住三角形ACD为等腰直角三角形，且AC=CD，就可以过点C作OC垂直于BC，并使OC=BC，得到 ，可得 ， 点在以 点为圆心，以1为半径的圆上，该问题转化为 点到圆 上点的最大距离问题了，当 点在 处时有最大值，可得 的最大值为 .这样问题的解决就简单多了.

六、注重语言转换，突破因语言障碍引发的思维障碍

数学是思维的体操，语言是思维的载体，思维需要用语言或文字来表达，语言障碍会具体体现在数学问题的解决过程中，既与语言理解有关，也涉及到数学思维障碍[2].因此，在高中数学教学中，教师要注重引导、培养学生文字语言、符号语言、图形语言以及不同表述间的转换，形成数学概念和定理的整体认识和融会贯通，在灵活的语言转换和问题解决中，锻炼学生思维的敏捷性.例如，在学习函数单调性的概念时，在教学中可利用多媒体展示学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等图像，图象呈现上升或下降趋势（图形语言），对应转换到y随x的增大而增大或减小（文字语言），理解起来并不困难，关键是如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？可组织学生充分合作探究，数学中的增大或减小，如何体现？（通过两者大小比较），在某一区间上全部满足又该如何表述？（突出取点的任意性），进而由学生尝试用数学语言来表述函数单调性概念，老师点评完善.再如，在立体几何的定理学习时，要注重文字语言、数学语言（符号语言）、图形语言三种语言的呈现，可通过师生、生生之间相互提问、“翻译”的方式加以强化.另外，也要重视实质相同的不同数学语言表述之间的转换，例如，方程的根、函数的零点、函数图像与x轴的交点之间的表述转换，正余弦函数的极值点与对称轴的表述转换，点、向量与复数之间的表述转换等.

总之，数学思维障碍的成因有很多方面，也很复杂，还需要在教学实践中，不断思考、研究，结合相应的教学内容和教育对象，转变教学方式，改进学生的学习方式，以问题的解决为途径，突破数学思维障碍，提高学生解决问题的能力，发展学生的思维能力.

参考文献：

[1]王宪昌.数学思维方法.北京：人民教育出版社，2010.

[2]童嘉森.中学生数学阅读能力的培养.北京：国家行政学院出版社，2013.

作者简介：

韩秀波，男，44岁，高级教师，全国优秀教师，全国优秀班主任，首届山东省十大教育科研名师，莱芜市有突出贡献的中青年专家，山东师范大学教育硕士合作导师。