谈不定积分计算的方法

王淑伶

摘要：不定积分是导数（微分）的逆运算，高职学生普遍学习起来吃力，怵头。本人通过多年的教学积累，谈谈对于这部分教学的领悟。

关键词：不定积分；计算；方法

不定积分的计算是定积分的计算、微分方程的求解及二重积分计算的基础，不定积分计算熟练对于定积分的计算，微分方程的求解，二重积分的计算起到事半功倍的作用。因此，教师在不定积分计算教学上不能一带而过，要肯下工夫，分析学生出错的原因并及时纠错，抓住学生的薄弱环节强化练习。

一、弄清不定积分的概念

（一）导数公式、运算法则，微分的概念及微分的运算法则是学习不定积分的基础。在学习不定积分之前要先复习这些内容。不妨出下列练习。

求下列函数的导数与微分

y=2，y=x，y=x2 ， ， ， ， ，

2、以下面两个例子引入不定积分的定义

例1设物体以速度 作直线运动，且当 时 ，求运动规律。

例2已知某曲线经过点 ，并且该曲线上任意点 处的切线斜率为 ，求这条曲线的方程。

学生通过解决这两个问题，弄清这两个问题都是：已知一个函数的导数，求这个函数。对不定积分有初步的了解——导数的逆运算。

（二）理解不定积分的符号 的含义

讲清符号的来源，求 =？，求的 。 表示f（x）的所有原函数。

（三）不定积分公式熟悉，熟用

多数学生学习只凭感性认识，看表面，忽视本质。比如 ，套了这个公式 。只看到被积函数的形式符合，忽视积分变量是谁。教师和学生一起分析错误的原因，达到对公式 認识到“ ，（）是相同的变量”程度。教师要求学生对每个公式再认识，重视积分变量。

二、不定积分的方法

（一）直接积分法

直接积分法是直接用公式和用法则求积分的方法，它是最简单的方法。练习由简单到复杂，根据问题分析总结。

（1）求1、 ，2、 ，3、 ，4、 ，5、 ，6、 ，7、 ，8、 （最简单，直接代公式）

（2）求 （稍复杂）

（3）求 （再复杂）

在（2）题的基础上，学生自然知道（3）把被积函数化和。强调把被积函数化和是求积分的一个首要想法。

（4）求 （较难）

学生知道把被积函数化和化和，让学生自己先变形，可能五花八门，然后教师总结：把被积函数化和是求积分的一个变形手段，目的是能代入某个公式。不要为化和而化和。

（二）凑微分法

直接积分法是其它积分方法的基础，凑微分法是积分法的关键。学生对凑微分法非常头疼。

1、对基本积分公式的再认识

定理设 ，且 为可微函数

则

它表明：在基本积分公式中，自变量x换成任意可微函数 后公式仍成立。

让学生做练习，加深对公式的认识。

= = = =

2、用微分公式 换积分变量，常用凑微分公式熟悉熟用。

； （x>0）

； ；

3、由简单到复杂讲解练习。

（1）求 （简单）

学生很容易知道靠公式 ，把积分变量换成3x，用到微分公式 （讲清怎么从左变到右）。

（2）求 （较难）

让学生辨认 是否相等，说出理由。教师和学生共同总结出：题型 要用到这个微分公式 换积分变量。学生再做 ，体会整个过程。

（3）求 （较难）

先让学生考虑能否用直接积的方法解决，然后让学生观察x与 的关系： 的导数-2x与x就差个常数，用公式 换积分变量为 ，来达到符合公式的条件。

总结：题型 要用到 ，换积分变量。学生再做 ，领悟。最后练习

从练习发现学生的问题，找出症结，针对问题强重点讲解，攻破难点。让学生体会用微分公式 换积分变量，在微分运算熟练，积分公式熟悉的基础上，才能知道用哪个微分公式换积分变量，达到符合积分公式的要求。

（三）根式换元法

1、学生在做题时，选择积分的方法（根式换元法，凑微分法）上迷茫。通过练习 ， ，来辨认积分的方法，知道 不能用直接积分法和凑微分法，需用根式换元法。

2、根式换元易出现的问题换不对，积分变量不换或换不对。以例 讲解。

设 ，让学生换进去，通过出现的问题—— ，提示点拨：， ， ，学生体会换元以后，就化为直接积或凑微分。换积分变量为换元的变量，仍离不开微分公式 。

（四）、分部法

分部公式 = -

1、分步法与凑微分法在选择上容易出错。通过比较 与 ，得到 不能用凑微分解决，需用分步法分部法。

2、选u，dv关键对于初学者，选u，dv，容易出错。教师结合实际例题与学生探讨。

例求 U，dv的选择情况（1） （2） （3） 。先让同学按第一种选择去做，然后按第二种选择再试试（教师在黑板上扮演），课下再让学生按第三种选择试试。学生体会到U，dv的选择，不能随意。

例求 ，学生多数 ，发现v找不到，应该 。通过前面两例题得出选u，dv的依据和方法。

选择u和dv依据：（1）v容易求得；（2）右边的积分∫vdu比左边积分 容易。

选u，dv方法按着口诀“反对幂三指”选。意思是，当这几个类型的函数相乘时，取U的顺序就按这个来，谁排在前面，就

选谁当做U。比如说：求， ，应设 U=arctanx，dv=xdx，这样才能求出来。

三、一题多解

求

解法1 （化和，凑微分法）

解法2（换元法）

令t=1+x，则x=t-1，dx=dt

解法3（根式换元法）

令 ，则 ，dx=2tdt

解法4（分部法）

选择不同的积分方法，答案不同，可以用求导验证都对。应选择最简便的方法为佳。

四、做相似的题，学选择方法

有的学生学完不定积分的计算，总是往某个题上去套，一些表面看着差不多的题不能辨别区分，不知选择什么方法，怎么去分析。教师可以出相似题目让学生练习。

例如（1）求 ， ， ，

（2） ， ，

通过做相似题目，学生在选择积分的方法上有了更深刻的认识。选择的顺序一般是直接积分法，凑微分法，（换元法，分部法）。

能选择正确的积分方法，达到运用方法自如，计算熟练。首先要基础知识（导数、微分运算）扎实，其次要多练习，从做题过程中悟出真谛。