对一道2018年数学文化试题的赏析

四川省内江师范学院数学与信息科学学院 余小芬 刘成龙 (邮编：641100)

数学是一门历史性或积累性很强的学科，数学知识的形成经历了漫长的历史过程，它是伴随着人类社会生产、生活而自然产生、发展和成熟的.在历史长河的悠久沉淀中，形成了数学深厚的文化底蕴、闪耀着丰富的知识成果，彰显了睿智的数学思想、传承着刻苦钻研的精神.由此可见，了解数学史、感受数学文化，不仅可以引导学生初步了解数学产生与发展的过程，加深学生对数学的理解，更能培养他们严谨治学的态度和锲而不舍的精神.因此，关注数学文化意识的养成，努力推进数学文化教育，已经成为当今数学教育改革的一个重要特征.近年高考，以数学文化作为试题背景已成为高考命题的新亮点、新趋势.例如：2016年四川卷理科第6题以秦九韶算法考查程序框图、2017年全国卷Ⅰ理科第2题以我国极具哲理和审美价值的太极图为背景考查几何概型、2017年全国卷Ⅱ理科第3题以我国古代数学名著《算法统宗》中的古算诗题为素材考查等比数列求和公式.

《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲》(下文简称《大纲》)在“个性品质要求”中明确提到：“要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.”同时，《大纲》指出：“数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值.”在此背景下，2018年高考坚持“立德树人”“文化育人”的基本理念，涌现了一大批优秀的数学文化试题，例如：2018全国卷Ⅰ理科第10题以古希腊数学希波克拉底的月牙定理为背景考查几何概型、2018全国卷Ⅱ理科第8题以哥德巴赫猜想为背景考查古典概型、2018年北京卷理科第4题以“十二平均律”为背景考查等比数列通项公式等等.下文将从试题背景、试题解法、试题变式等角度重点研究全国·卷理科第10题.

1 试题呈现

图1

(2018全国卷Ⅰ理科第10题，下文简称10题)图1来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为p1、p2、p3，则( )

A.p1=p2B．p1=p3

C．p2=p3D．p1=p2+p3

2 试题背景

本例以古希腊数学家希波克拉底发现的一条优美平面几何定理(又称为希波克拉底定理或月牙定理)为命题素材考查几何概型.希波克拉底，古希腊著名数学家，他对几何学的贡献很大，他的《几何纲要》是几何学的第一本教科书，据说包括了欧几里得《几何原本》的前四卷内容.而他所发现的月牙定理是在人们追求“化圆为方”难题的解决过程中产生的.希波克拉底最先发现有一些除圆以外奇妙的曲边图形的面积会和某个多边形面积相等，他最先利用月牙定理印证了他的猜想，所谓月牙定理，即是：以直角三角形两条直角边向外做两个半圆，以斜边向内做半圆，则三个半圆所围成的两个月牙型面积之和等于该直角三角形的面积.

3 试题解法

解法研究是研究高考的最基本形式.解法研究的视角有：一题多解、多题一解、一题多用、错解分析等等.其中，一题多解指从不同视角对同一问题进行分析进而得到多种解答方法.在一题多解的过程中，需要关注解题思路的形成、解题方法的提炼、解法的逻辑表达和解题策略的优化.通过对解法间共性与差异的分析，让学生认识问题的本质的同时，培养学生的思维的灵活性和策略的多样性.

解法1 希波克拉底的证法

即直角边上两个半圆面积之和等于斜边上半圆的面积.再从上面等式中，两边同时减去图1中两个白色弓形的面积之和，即可得出结论：直角边上的两个月牙形的面积之和等于直角三角形的面积，即SⅠ=SⅡ，因此p1=p2.

评注 希波克拉底从勾股定理出发，通过对式的巧妙变形，数形的完美结合，证明了结论.月牙定理的发现及证明让人们欣赏了美妙的图形结构，感叹着耐人寻味的割补技巧，这给当时的数学家带来极大鼓舞，认为“画圆为方”问题也不难解决了.

解法2 直接计算法

所以SⅠ=SⅡ，p1=p2.

图2

图3

解法3 极限法

当直角边AC无限接近斜边BC，由图3，区域Ⅲ的面积明显大于区域Ⅰ、Ⅱ的面积，即SⅢ>SⅠ，SⅢ>SⅡ，故排除B、C、D.选A.

评注 极限策略是重要的数学解题策略之一，是“极限逼近”思想在解题中的渗透.通过有限化无限(或无限化有限)的方式，可以从宏观上把握数或形的变化趋势，避免细节讨论的繁琐.解法3通过将直角边AC(或AB)无限接近斜边BC，能快速对比三个区域面积大小，从而迅速得到答案.该法降低了思维难度，提高了解题效率，节约了解题时间，真正做到“多想少算”.

4 试题的变式

变式是指一种使直观材料或者事例不断变换所呈现的方式，以使其中的本质特征恒在，非本质特征不常出现的教学活动方式．而数学解题变式，就是数学解题中，相对于某种范式(即数学材料中具体的数学思维成果，含问题情境、基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等)的变化形式，在数学解题过程中不断地变更数学问题中的情景或改变思维的角度，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置各种实际应用的环境等，以期暴露问题的本质特征或内在练习的教学方法.因此，试题变式中“我们更应该强调变式的共同本质：“变化中求不变”、“求变以突出其中不变的因素.”

图4

例1 如图4，A、B、C、D为以BC为直径的圆的内接正六边形的四个顶点，图中四边形ABCD围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为p1、p2、p3，则( )

A.p3

C．p3

区域Ⅱ的面积为SⅡ=3S2-SⅢ

所以SⅢ

图5

例2 如图5，△AOB为等边三角形，G为AB中点，四边形BGOF为平行四边形.弧AEB是以G为圆心，AB为直径的半圆，弧ADB是以O为圆心，OA为半径的圆弧.图中四边形BGOF围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为p1、p2、p3，则( )

A.p3

C.p3p2=p3

所以SⅡ

评注 由上述计算发现例2中三个平面区域的面积大小不等.事实上，希波克拉底曾发现：当例2中△AOB为等腰直角三角形，即∠AOB=90°时，有SⅠ=SⅡ，即图中月牙图形也可找到一多边形与之面积相等.(有兴趣的读者可自行证明，此处略.)

5 结束语

事实上，希波克拉底曾先将月牙定理中的一般直角三角形改成等腰直角三角形(如图2)，得到结论：正方形边上的两个月牙形面积之和等于该正方形面积之和的一半，这显然正确.但他未加证明“想当然”地将圆内接正方形的结论“推广”到圆内接正六边形(如图4)：正六边形三边上的月牙形面积之和等于正六边形的一半.这显然是错误的，而他在此基础上引出了更错误的结论：圆可以化为方.由此看来，尽管希波克拉底给人们提供了天才般的视觉和解法，但他在对待命题结论的“想当然”也值得我们反思.