数学核心素养更需要在数学核心概念的教学中落实——以“导数的概念”(第一课时)教学为例

安徽省阜阳市教育科学研究所 王志刚 (邮编：236031)安徽省阜阳市第三中学 郑建华 (邮编：236000)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》，首次提出高中数学课程要“凝练学科核心素养”，指出“中国学生发展核心素养是党的教育方针的具体化、细化”.各学科基于本学科凝练的学科核心素养，明确了学生学习该学科课程后应该达成的价值观、必备品格和关键能力，因此在学科教学中认真落实学科核心素养，对全面贯彻党的教育方针、落实立德树人根本任务，发展素质教育都有非常重要的意义.数学学科的核心素养凝练在“数学抽象、数学运算、数学建模、直观想象、逻辑推理、数据分析”六个方面，是通过数学教学使学生逐步形成的“数学思维品质与关键能力”.李邦河院士说过，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”[2]，可见，数学概念就是这些数学思维品质与关键能力的集中体现.在数学概念体系中，一些处于核心位置的概念密切联系着其他一些概念，这些概念可以衍生、推出其他的数学概念，这样的数学概念我们称之为“数学核心概念”.抓住数学的核心概念就便于理解数学的思维品质和关键能力，因此在数学教学中把握住数学核心概念的教学是落实数学学科核心素养的重要策略.笔者就以 “导数的概念”(人民教育出版社出版高中数学A版教材，选修1-1第三章导数及其应用)一节的教学为例，就数学核心概念教学中如何落实等数学核心素养，谈谈笔者的做法，求教于同行.

1 教材内容解读

图1

导数的概念是第三章第一节变化率与导数的第二课时，第一课时3.1.1 的主要内容是平均变化率，教材选择了“气球膨胀”和“高台跳水”两个不同背景，分别给出其平均变化率在数量上的精准描述，在此基础上探求瞬时变化率，揭示了瞬时变化率与平均变化率的关系，明确了研究瞬时变化率的必要性，并且用思考栏目提出了“观察函数y=f(x)的图象(图1),

平均变化率表示什么？” ，为导数概念的引入创设了一个良好的问题情境.

3.1.2节的主要内容是导数的概念.教材结合上节高台跳水情境定义了瞬时速度的概念，提出 “如何求运动员的瞬时速度”引导学生开展探究，通过计算发现当△t无限趋近于0时，平均速度都无限趋近于一个确定的值，类比到一般函数，抽象概括给出函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，然后介绍其产生的历史背景和导数在生产、生活等领域的广泛应用.

一般地，导数学习的起点是极限，但现在极限的概念在课程标准中要求不高，考虑到学生的理解能力，也为了使教学的重点落脚于对导数本质的理解，教材中通过计算用“逼近”方法定义导数.因此教学中应该设法让学生对“无限逼近的过程”有亲身的经历和感悟，只有经历了这样的过程，学生才能准确理解导数的概念，体会导数思想及其丰富内涵.在实际教学中不要盲目追求理论上的严谨性，以免教学的重心偏移.

2 《普通高中数学课程标准(2017年版)》的要求

《课标》(2017年版)对“导数的概念及其意义”提出如下三点要求：(1)通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵及思想；(2)体会极限思想；(3)通过函数图象直观理解导数的几何意义.[1]

从上可以看出，《标准》(2017年版)已经将如何“理解导数的意义、学习导数的概念”表述得非常清楚了，不仅提出了学生要“学什么”，规定了“怎样学”，并且明确了学习过程中包含的数学核心素养.

2.1 学什么

“学什么”具体地说包括三方面：(1)在导数概念形成的过程中，通过分析具体的实例，让学生亲身经历由平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，在这一过程中使学生体会、感悟数学运算、逻辑推理、数学抽象、数学建模和数据处理等数学核心素养；(2)在导数几何意义学习过程中，通过具体的函数图象，使学生深入理解导数的概念，培养学生几何直观和数学建模的数学核心素养；(3)在导数产生历史背景和应用广泛性的介绍，以及例题的解决过程中，渗透数学文化素养，培养学生的数学应用意识和创新意识.

2.2 怎样学

“怎样学”也表现在三个方面：(1)让学生通过数据计算某一时段的运动员的平均速度，探索解决“如何求高台跳水运动员在某一时刻的瞬时速度”这一问题，抽象出瞬时速度的概念；(2)导数的概念是在数值计算后体会、感悟无穷逼近的过程中，观察平均速度的变化趋势时，由特殊到一般逐步抽象概括形成的；(3)导数的几何意义是通过函数图形直观想象呈现的.

2.3 教学设计与学习的思维导图

基于以上分析，笔者设计了如下的教学与学习的思维导图：

3 课堂片段实录与评价

3.1 创设情景，提出问题的过程

问题1 回顾上一节的高台跳水问题，知道运动员在不同时刻速度是不同的，用平均速度来描述运动员的运动状态会出现一个问题：运动员在某一时刻是运动着的，但在这一时刻平均速度确为0.数值与现实的矛盾，告诉我们用平均速度刻画物体在某一时间段运动状态有时也不精准，因此需要求运动员在某一时刻的速度，即瞬时速度，那么怎样求运动员在某一时刻比如t=2时的瞬时速度呢？

生：根据物理学习的经验，我们可以将这个问题转化为求平均速度问题.

师：很好，求哪一时间段内的平均速度呢？有什么要求？

生：求t=2附近这段时刻，时间段越短越好.

师：为什么？谈谈你的想法？

生：时间段越短，速度变化的越小，运动员在该段的平均速度就越接近t=2时刻的瞬时速度.

师:理解得很精准.时间段选取在t=2附近,该如何理解？

生：时间段应该选择在t=2之前或之后.

师：能否举出一些具体时间段？

生：可以，比如时间段[2,2.1],[1.99,2]和[2,2.001]

师：很了不起！为了方便起见，我们约定，把“从时刻t1到时刻t2这段时间”简记为[t1,t2]，为探求t=2时刻的瞬时速度，上述区间可以统一写成[2,2+△t](△t>0)或[2+△t,2](△t<0).

评价 通过分析求运动员在跳水过程中某一时间段内的平均速度的想法，缩短时间区间，运用逼近思想，在交流探究活动中直观呈现平均速度无限逼近瞬时速度的条件，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，渗透数学运算、直观想象和数学抽象的数学核心素养.

3.2 数学运算、数据分析、感受“无限逼近”的过程

表1

表2

评价 “逼近”思想是形成导数概念的核心思想，学生对概念的认识需要借助于大量的直观形象和数据，因此，在导数概念教学中，要通过数学运算让学生直观感受不论时间从2时的左边或右边无限逼近2，平均速度的变化发展趋势呈现一定的规律性.让学生经历数学运算、数据分析的活动，真正地体会到从平均速度到瞬时速度的发展变化过程，在运算推理中感受“逼近”思想，发展了学生数学运算、数学推理、数据分析的数学核心素养.

3.3 引导探究，构建模型的过程

师：当△t趋近于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

生：通过填表发现，虽然各组取的△t有所不同，但当所取的△t越来越接近于0时，各组计算出来的平均速度都不约而同的趋近于一个确定的常数-13.1.

师：上述运算过程有统一的表达方式吗?

只需要△t取-0.1,-0.01,-0.001,-0.00001…或0.1,0.01,0.001,0.00001…当△t趋近于0时，很容易发现平均速度趋近于一个确定的常数-13.1.

师：你真棒，你对这一问题做了高度的抽象归纳，找出数据运算的共性，同时建立了一个函数模型，降低了数据的运算难度，更能突出数学的本质.

这个环节需要一个较长的时间，在这个环节中，学生通过亲自动手计算，小组合作探究，抽象概括完成了所提出问题，而且已经实践了如何求导数的过程，学生在运算中感受逼近的思想，为导数概念的建立奠定基础,培养学生数学建模的数学核心素养.

3.4 抽象概括，概念生成的过程

(1)物理模型

问题2 一般地，我们怎样表示运动员在某个时刻t0的瞬时速度呢？请填表3，并说说你的想法.

表3

评价 通过表格对比使学生认识到平均速度当△t趋近于0时的极限就是瞬时速度，为抽象概括导数概念提炼出一个具体的极限模型.体现了特殊到一般的思维方法，培养了学生抽象概括、逻辑推理的数学核心素养.

(2)数学建模的过程

教师：通过上面的分析，我们看到“位移对于时间的瞬时变化率”就是瞬时速度.如果将运动员高台跳水问题中的函数用y=f(x)来表示，那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率如何表示？完成表格4.

表4

教师：请用自己的语言叙述函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率.

评价 通过对一般函数y=f(x)类比来定义t0时刻的瞬时速度，剥离具体问题的背景和实际意义，用纯数学的方式表示函数在t0的瞬时变化率，抽象得到导数的定义，导数概念水到渠成、自然地出现.导数概念的建立过程反映了数学建模的思想，也反映了数学抽象概括的数学核心素养.

(3)数学应用，理解概念的过程

在巩固概念的教学环节，通过介绍导数的历史文化和广泛应用，解决例1中的问题，让学生模仿重现导数概念的建立过程，并说明结果的实际意义.

评价 使学生知道导数产生的历史背景，并且自己动手解决问题加深对导数概念深入的理解，渗透数学文化，发展学生的数学运算素养、逻辑推理能力.

4 教学后的思考

4.1 对导数的思想及其内涵的思考

《课程标准》要求学生知道导数的本质就是瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵.那么导数的思想和内涵具体是什么？从教材中看，“瞬时变化率就是导数”，导数的问题就应该是瞬时变化率问题，其思想及内涵就应该是：瞬时变化率是平均变化率的极限，函数变化率和极限的思想及其内涵就是导数的思想及其内涵，而由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程[6].

4.2 对数学核心素养落实的思考

本节课的教学过程遵循“促进深度思考，培养数学核心素养”的理念，设计了“教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标，素养培养为导向”的教学思想，采用“问题驱动”“启发引导”“自主探究与实践”等教学方法，通过问题情境的设置，激发学生探索新知的欲望，亲身经历导数概念的产生发展、抽象概括过程，引导学生积极思考用数学的眼光分析问题，积极动手用数学的方法解决问题，用数学的语言表述一般的结论，把数学核心素养在课堂教学中落到实处.