对一道模考题的思考

安徽省合肥市第一中学 段明贵 姚微微 (邮编：230601)

1 原题再现

合肥市2018年高三第二次教学质量检测理科数学选择题第12题为：

图1

已知点I在△ABC的内部，AI平分对满足上述条件的所有△ABC，下列说法正确的是( )

A.△ABC的三边长一定成等差数列

B.△ABC的三边长一定成等比数列

C.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等差数列

D.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等比数列

该题是选择题的压轴题，难度较大，从考试结果来看，得分率也极低.本题以三角形为载体，题干简约，背景新颖，综合考查了正、余弦定理的应用，其中还糅合了等差、等比数列的知识，在多个知识交汇处命题，由此可见本题的综合性很强，对考生的分析、解决问题能力要求较高．

2 追根溯源

该题的背景是三角形的布洛卡点与布洛卡角，那么什么是布洛卡点和布洛卡角？

在任意△ABC中，有且仅有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α；有且仅有一点P′，满足∠P′BA=∠P′CB=∠P′AC=α′.这两个点P、P′称为△ABC的布洛卡点，角α、α′称为△ABC的布洛卡角．

布洛卡点早在1816年由法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，1875年，三角形的布洛卡点又被一个数学爱好者——法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．由此再次引发了人们对三角形性质的研究热潮，发现了三角形许多新的性质．

一般地，对于任意三角形都有两个布洛卡角与两个布洛卡点，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合，两个布洛卡角都为30°．

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，S是△ABC的面积，角α为△ABC的布洛卡角.则有布洛卡角的如下两个性质：

定理1 cotα=cotA+cotB+cotC．

运用正、余弦定理容易证明上述定理，详细证明参见文和文 ．

三角形的布洛卡点、布洛卡角还有许多其他性质，它们在数学竞赛中有着广泛的应用，有兴趣的读者，请进一步自行探究．

3 解法探析

下面用正、余弦定理及布洛卡点的性质给出合肥市2018年高三第二次教学质量检测理科数学选择题第12题的两种解法．

则∠BIC=∠ABI+∠BAI+∠ACI+∠CAI=∠BAC+∠ABC=B+2α，

∠AIC=π-∠ACI-∠CAI=π-2α．

由于B+2α+C=π，所以B+2α=π-C，B+C=π-2α．

评析 解法1在2个子三角形中分别运用正弦定理，利用它们边角的特殊关系，得到一个新的等式，从而得到a2=bc．解法2主要利用定理1的等量关系，移项后充分进行恒等变形，最后利用正弦定理得到a2=bc．两种解法都要充分利用角的关系，由于解法2直接用了性质，所以显得较为简单一些．

事实上，上述解答过程揭示了布洛卡角的另外一个性质(定理1的推论)：

推论 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，角α为△ABC的布洛卡角.

4 链接高考

图2

2013年高考数学全国卷Ⅰ理科第17题如下：

(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA．

(2)解法1 设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，

解法2 设∠PCB=α,由题意可得∠PBA=∠PAC=α,据定理1，得

解法3 设∠PCB=α,由题意可得∠PBA=∠PAC=α,据定理2，得

评析 在第(2)问的条件下，点P为△ABC的布洛卡点，解法1是通解通法，求解过程也不算麻烦，解法2与解法3都直接利用布洛卡点的性质，一步即可得到答案．由此可见，本题的原型是三角形的布洛卡点．

波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本” ．以上两题都是运用三角形的布洛卡点命制而成的，而题干中又没有出现布洛卡点这一新概念，做到了不露痕迹．初等数学中许多经典内容，不但是我们学习数学的良好素材，也是我们命制各种试题用之不竭的宝藏.