函数思想在中学数学解题中的应用

王蕾

【摘要】函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连接的主干作用.函数思想的应用，就是根据提出问题的数学特征，构建一个相应的函数关系型的数学模型，用函数知识去解决问题.

【关键词】函数思想；中学数学；数学特征；数学模型

函数思想，就是用运动和变化的观点分析、研究具体问题量的依存关系，剔除问题中的非数学因素，抽象数学特征，用函数的形式把数量关系表示出来，运用函数的性质解决问题的思想.函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，利用函数本身的概念和性质等知识去分析问题、转化问题，从而解决问题.

本文结合中学数学教学特点，从几个方面对函数思想的应用进行了较系统的总结.

一、运用函数思想求解方程问题

函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切联系.一个函数表達式可以看成是一个二元方程，一个二元方程的两个未知数间如果存在单值的对应关系，那么这个方程也可以看成是一个函数.方程的两端可以分别看成两个函数，方程的解就是这两个函数图像交点的横坐标.因此，许多有关方程的问题都可以用函数思想解决.

例1已知q∈（-∞，-1）∪[1，+∞），方程cos2x+sinx-q=0是否有实数根？说明理由.

解由原式得：q=cos2x+sinx，令t=sinx，则q=-2t2+t+1（-1≤t≤1）.

配方得：q=-2t-142+98，由二次函数图像可知：

当t=14时，q取到最大值98；当t=-1时，q取到最小值-2.

所以，当q∈（-∞，-2）∪98，+∞时，方程无解；当q∈[-2，-1）时，方程有实数根.

如果从方程的角度解决本题，很难找到有效的解题途径，所以想到把原方程转化为函数：q=cos2x+sinx，又知cos2x=1-sin2x，问题就转化为了二次函数的求最值问题，这样很容易得到答案.

二、运用函数思想解决不等式问题

在求解及证明不等式的过程中，巧妙地构造辅助函数，利用函数的性质使不等式获证.

例2解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

分析本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算比较麻烦，但可以看出8（x+1）3+10x+1=2x+13+52x+1，题中又有x3+5x，所以想到构造函数f（x）=x3+5x，利用函数单调性求解.

将原不等式化为2x+13+52x+1>x3+5x.令f（x）=x3+5x，则不等式变为f2x+1>f（x），∵f（x）=x3+5x在R上为增函数，∴原不等式等价于2x+1>x，解得-1

可见，函数思想解决不等式问题，关键在于构造一个适当的函数，熟悉函数性质，弄清函数和不等式的内在联系，树立相互转化的观点.

三、运用函数思想解决数列问题

数列是特殊的函数，数列的通项公式或前n项和公式可以看作是定义域为正整数集的函数，因此，有些数列问题可以用函数思想来解决.

例3已知数列{an}，其中a1=15，且an+1=an-23，试求当n取何值时，数列{an}的前n项和最大.

解由an+1=an-23，可得an+1-an=-23，由此可知数列{an}是以15为首项，-23为公差的等差数列，所以Sn=15n+n（n-1）2·-23=-13（n-23）2+5293，可见，当n=23时，Sn最大.

本题采用了构造函数的思想，在解决数列问题时，应重视函数思想的渗透，应把函数概念、图像、性质有机地融入数列中，通过数列与函数的知识交汇，使问题得以简化.

四、运用函数思想解决三角问题

在三角函数一些较复杂的题目中也常用到函数思想.

例4求当x取何值时，2sin2x-2sinx-5取最小值.

解设y=2sin2x-2sinx-5，令t=sinx（-1≤t≤1），

则y=2t2-2t-5=2t-122-112，

所以当t=12时，y取到最小值-112，即t=sinx=12，因此，当x=π6+2kπ或x=56π+2kπ，k∈Z时，原式取到最小值.

利用换元法将原式化为二次函数求最值问题，变形过程中，根据三角函数本身特性，确定变量t的取值范围，找到解题关键，再利用二次函数求最值方法进行求解.

可见，函数思想贯穿整个中学数学的教学.函数思想的关键是构造适当的函数模型，其实质是把所求问题转化为以函数为背景的问题，再利用函数的有关概念、图像、性质帮助解决.在教学中应注重数学建模思想的渗透，培养学生的解题能力.

【参考文献】

[1]罗建宇.函数与方程的思想在解题中的应用[J].中学数学研究，2008（2）：19-22.

[2]张学晖.函数与方程思想在中学数学解题上的应用[J].克拉玛依学刊，1999（3）：31-32.

[3]何冬梅，赵国清.浅谈函数思想在解题中的应用[J].保山学院学报，2005（5）：40-43.