浅谈初中数学中“圆”的教学策略

段云

【摘要】圆是最简单的图形，也是一个特殊的平面曲线图形.在初中数学教学当中，学习圆的种种特殊性质和解题方法尤为重要.在试卷中关于“圆”的试题占分比率不低，以及在应用题中需要以圆做辅助线减小解题难度.圆有许多特殊性质可以帮助学生解决数学问题.例如，在三角形、正多边形、求取点的个数的问题中能够将特别复杂的问题简单化.所以“圆”是初中数学教学的重要教学内容.

【关键词】辅助圆；弦；直径；弧；简化问题；做辅助线；中心对称；垂径定理

一、圆的基本定义

圆的定义：圆是一种比较特殊的几何图形，指的是在一个平面当中存在的点，这些点都遵从一个特性，它们到一个定点的距离都相等.而满足条件的这些点的集合就称为圆.这个给定的点称为圆的圆心，到这个定点的距离就称为圆的半径.在教学当中，用来作图的工具是圆规.（圆规的设计也正好说明了圆的性质，一个确定的圆心和一段确定的半径就能画出一个圆）.圆是一条闭合的曲线，曲线以内为圆的内部，曲线以外为圆的外部.圆之间的内切指的就是两个圆在圆的内部相切，圆之间的外切指的就是两个圆在圆的外部相切.这条闭合曲线称为圆周，圆周的长度称为圆的周长.

二、与圆相关的一些其他参数

1.弦：连接已知圆上任意两点的线段.一个圆可以由无数条弦组成，过圆心的弦就是圆的直径.

2.直径：通过圆心的弦就是直径.直径的两个端点都在圆周上，用d表示.直径所在的直线是圆的对称轴.因为对于一个圆来说，其直径是唯一大小的.所以直径是决定圆的大小的单位.

3.弧：圆上任意两點之间的距离.（将一个圆以任意圆上的两点截断可得到两段曲线，这两条曲线就是弧）.弧分为劣弧和优弧.小于半径的弧称为劣弧，通常用圆上的两个点来表示，如AB.大于半径的弧称为优弧，通常用圆上的三个点来表示，如ACB.

三、圆的对称

关于圆的对称有一个重要的定理——垂径定理.圆的重要性质需要通过垂径定理来推敲，圆的对称性也是证明弧相等、线段相等以及垂直关系的重要依据.在进行作图、做圆辅助线以及圆的计算都涉及圆的对称.因此，这部分内容是圆教学的重点和难点.

1.圆的轴对称性及垂径定理.垂径定理指的是圆的直径和弦，以及弦所对的弧之间的对应关系，如弦所对的弧之间的垂直或平分，是解决圆内的弧、角、线段的关系以及垂直关系的定理.

例如，“已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8，CD=6，圆O的半径是5，则梯形的面积是？”想要求梯形面积就必须知道以下条件：上底、下底、高.求高则成了这道题的难点.由于已知半径，做一条垂直于底边的垂直平分辅助线，由辅助线做出两个三角形，由勾股定理求出未知直角边，两直角边之和就是梯形的高.由梯形面积公式可得梯形面积为49.

2.圆的中心对称性.圆是中心对称图形.中心对称图形是指一个图形本身成中心对称.圆的对称中心点是圆心.圆上所有点都是关于它的对称中心的对应点.而对应点都在这个图形上.如果将中心对称的两个圆看成一个图形，那么这个由两个圆组成的图形就是中心对称图形.

四、圆周角定理

圆周角指的是顶点在圆周上，并且两边为圆的两条弦的角.即圆周角的顶点在圆上，而它的两边为圆的两条弦.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半.在圆周角的有关证明题、计算题当中，如果能从圆心角与圆周角的关系来思考，一般都可以快捷地找到解题思路，从而使问题在短时间内得到解答.

例如，“在一个圆当中，已知一条圆心角为60度的弦，请画出另外一条与其平行且长度为其二分之一弦.”解题思路：“想要画出一条与已知弦平行且长度为其二分之一的一条弦，只需要画一条圆心角为30度的且与其平行的弦即可.”

五、辅助圆的应用

1.画辅助圆求三角形的度数.求三角形的度数的一般方法为在公共点做一个顶点，然后再画出三角形的外接圆.从而建立三角形与辅助圆之间的相应关系，从而解决问题.例如，“在一个不规则三角形中做出一个等腰三角形.”解题思路：“只需取三角形任意顶点为圆心以一条临边为半径画圆，该圆与三角形另一边的交点则与其相等，从而得到等腰三角形.”

2.画辅助圆求线段的长度.此方法较为简单，只需遵循在同一圆内任一半径都相等的原则.

3.画辅助圆求正多边形的面积.正多边形的面积是一个难点，如果在其外面画辅助圆，然后通过画三角形建立圆与多边形之间的关系，即可简化问题难度.

六、结语

圆是最基础的平面图形，在初中最常见的数学问题中都有涉及.当我们遇到用常规思维方式不能解决的问题时，不妨利用画辅助圆的方式将问题简单化，仔细思考圆的各种特殊定义和性质，即可将抽象题目直观化，进而解决我们遇到的各种复杂问题.

【参考文献】

[1]赵守文.催生点·激发点·活化点——透过大赛综观“圆周角”教学[J].黑龙江教育（中学），2011（22）：67-70.

[2]李龙海.说说圆周角[J].初中生辅导，2014（36）：25-28.