数学建模在生活中的应用——以《备件最优配置模型》为例

王慧

(榆林市第三中学，陕西榆林 719000)

1 问题重述

系统由若干部件组成，只要一个部件出现故障，系统就不能正常工作。为提高系统可靠性，每个部件都装有备件，一旦原部件出现故障，备件就自动进入系统。显然，备件越多系统可靠性越大，但费用也越高。问题是在一定的费用下，如何配置各部件的备件使系统的可靠性最大。

问题一:由N个部件串接的系统，当部件

k

配置

j

个备件时，该部件正常工作的概率及费用已知，在总费用不超过定值的条件下，建立使系统的可靠性最大的模型。问题二:先设定总费用为10，若

n=

3且每个部件至多配置3个备件，部件

k

配置

j

个备件时正常工作的概率

p

及费用

c

如表1，求证如何配置各部件的备件系数使系统的可靠性最大。

2 问题分析

串联系统是所有部件均可使用时才运转正常的系统，它的可靠性为各部件可靠性的乘积。求系统的最大可靠性是一个典型的多阶段决策问题。动态规划是解决这样一类最优化问题的专门计算方法，这类问题允许把它的过程(求解)分解为一系列的单级过程(步骤)。

而适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。于是，我们有必要考察一下所求问题是否具有这两点性质:

(1)最优化原理(最优子结构性质):不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。

这里，系统可靠性取决于各部件可靠性的乘积，可将系统配置的最优化问题转化为各部件配置的优化问题。

表1 给定费用和配件数后各部件正常工作的概率及费用表

(2)无后效性:某给定的阶段状态，它之前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的状态。

该题表现为各部件的最优效率不影响下一部件的效率性能。

综上所述，该系统可靠性优化问题完全可以用动态规划的方法来解决。

2.1 问题一分析

经分析，该问题满足动态规划的诸要素，故可按以下步骤来建立动态规划模型:

(1)把问题的过程划分为恰当的若干个阶段，引入阶段变量；(2)正确选择状态变量，使它既能描述过程的演变，又能满足无后效性；(3)确定决策变量及每个阶段的允许决策集；(4)写出状态转移方程；(5)指出阶段指标及指标函数；(6)写出最优函数。

2.2 问题二分析

在问题一的模型基础上，结合必要数据，采用逆序解法进行求解即可。

3 模型假设

(1)系统的正常运作只取决于题给的部件；(2)备件配置后即发挥可靠性作用，不因意外因素停止运转；(3)题给数据精确可靠。

4 定义与符号说明

k

:阶段变量(

k

=1,2,…,

n

)；

x

:状态变量；

c

:决策变量；

D

(

x

):允许决策集合；

M

:总费用；

p

(

x

,

c

):阶段指标；

n

:部件号；

f

(

x

):最优值函数。

5 模型建立与求解

由问题分析可知，该问题可用动态规划的方法来求解。

5.1 模型建立

按部件划分阶段，将它看做一个

n

阶段决策问题。把系统第

k

个部件看作

k

个阶段(

k

=1,2,…,

n

)，每个阶段初可用于支配的费用是前面阶段决策的结果，也是本阶段决策的依据(示意图如图1)。

图1 系统正态化图

针对问题一，在总费用为

M

时，为使系统的可靠性最大，建立动态规划模型:(1)阶段变量

k

:按部件号将问题分为

k

个阶段(

k

=1,2,…,

n

);(2)状态变量

x

:表示第

k

个阶段可用于支配的费用，其中

x

=

M

；(3)决策变量

c

:表示部件

k

配置

j

个备件时的费用；

(6)阶段指标

p

(

x

,

c

):表示当部件

k

配置

j

个部件时该部件可正常工作的概率；

(7)动态规划基本方程:

5.2 模型的实际应用

在问题一建立的模型中，取

n=

3且每个部件最多配置3个备件，总费用

M

=10。动态规划基本方程为:

结合表1数据，对基本方程求解:

当

k

=1时，

当

k

=2时，

当

k

=3时，

按上面的顺序反推算，可以得到:

由以上求解可知，当总费用为10，部件1的备件数量为3，部件2的备件数量为1，部件3的备件数量为2时，系统的可靠性达最大，此时，系统正常工作的概率为0.504。

6 结果分析与检验

6.1 结果的程序验算

对于模型的准确性验证，可利用程序证明(见附录程序6—1)。将动态规划函数的程序录入并计算后发现结果与我们的逆序解法完全一致，充分证明了模型的准确性和科学性。

6.2 模型合理性验证

7 模型评价与推广

本文运用动态规划的重要思想，建立了给定费用下，系统配置的最优化模型。

7.1 模型评价

优点:(1)原理简单，适用性广；(2)在模型检验方面，针对该题数据少的实际情况，引入了遍历搜索的办法，更加精准的验证了模型的科学性；(3)由于动态规划方法反映了过程逐段演变的前后联系和动态特征，在计算中可以利用实际知识和经验提高求解效率。

缺点:(1)用数值方法求解时存在维数灾；(2)对于较复杂的问题在选择状态、决策、确定状态转移规律等方面缺乏灵活性，这就带来了应用上的局限性。

7.2 模型改进

当系统部件数目较大时，可借助计算机求取最优解。

7.3 模型推广

本模型适用性较广，可用于解决实际生活中的问题，例如，人员分配问题，最大受益问题以及最短路径问题。