高中数学应用题教学的探索

广东省东莞市东华高级中学(523128) 赵金国

1 问题的提出

现行《普通高中课程标准实验教科书》(数学)与以往教材明显的差别是:①增加了“研究性学习”,②应用题贯穿于教材的各个章节.继《教科书》增设“数学探究”活动以来,各地高校不断举行各种形式的“数学建模”大赛,这表明数学应用在数学教学中具有的重要地位.教学中发现,中学生数学建模能力比较差,大部分学生对数学应用题感到束手无策.因此加强中学数学建模教学和研究具有重要意义.

新课标的基本理念要求:“发展学生的数学应用意识,倡导积极主动、勇于探索的学习方式”,并提出:数学知识与实际的联系,发展学生的应用意识的能力,并逐步形成学生的创新意识,通过应用题的教学让学生认识到:数学与我有关,与实际生活有关,数学是有用的,我要学数学,我能用数学[1]的观点.这为数学应用题教学提供了理论依据.

对于新教材进行多年的教学与研究,笔者对数学应用题教学有了初步的了解和认识,在实践中有了一些心得和体会.下面我从应用题教学原则、解题策略和案例分析等方面谈一下粗浅的看法.

2 数学应用题教学中应遵循的原则

现代教学论认为教学活动是一个师生互动、互相交流的活动,在这一活动过程中,学生是活动的主体,是学习和探索知识是主人.教师是学生学习的指导者、组织者和学生出现错误时的矫正者.教师的作用不单是传授知识,更重要的是教会学生学会思维,培养学生的创造性思维能力.有了创造思维能力,学生不仅可以学会教师讲授的知识,还可以悟出教师没有讲授的知识,甚至创造出新的知识和方法.

在应用题教学中,注重发展学生的应用意识,引导学生用数学知识来解决实际问题,并在探索和解决问题的过程中,体会数学的价值,必要时进行实地考察、还原模型,但在教学中要注意以下原则.

2.1 可接受性、方向性原则

针对中学生的认知特点和身心发展的特征,教学中要注重学生的接受知识的能力,不可盲目地补充大量的实际应用题;要注重数学应用题要与《课标》相接轨、相匹配,不可随意性拔高,加深难度;要注重学生的知识基础和解决实际问题的能力,不可好高鹜远,要引导学生自觉地“在学中用,在用中学”;另外应用题的选编要与社会实践和社会生活密切相关,要有现实感和时代感.因为贴近生活的应用题会让学生感到亲切、自然、又身临其境,也会使学生真正感受到数学是有用的,增强学生学好数学的积极性[1].

2.2 循序渐进性、创新性原则

智力和能力的发展,是一个循序渐进的过程.数学知识是具有严密的逻辑性和系统性,因此,在应用题教学中,选材一定要根据学生的实际,由易到难、由浅到深、由感性到理性的进行.还要培养学生的责任意识,体现了数学的社会化功能,否则将失去应用题的价值.教学的核心是学生的“创新”,在教学过程中,引导学生根据自己的体验,并用自己的思维方式重新创造出有关的新方法、新思路.

3 数学应用题的解题策略

在日常生活的中,每一个学生对事物、对问题都有自己的看法和解决问题的办法.有些问题即使学生还没有接触过,但当问题一旦显现在他们面前时,他们往往也可以运用自己的聪明才智和已有认知能力,对问题进行部分或全面的回答.因此,教师不能无视学生这些想法另起炉灶,把自己的想法和经验强加于学生,而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导学生从原有的知识经验中生长出新的知识.教师要重视学生对各种现象的理解,倾听他们的想法,洞察他们这些想法的由来,并且以此为根据来引导学生,丰富和完善自己的理解;并在此过程中进行相互交流和探讨,共同对某些问题进行修正和拓展.

数学应用题的教学可分为两步教学:一是建立数学模型(建模)的教学,二是求解数学模型(求模)的教学.建模教学是应用题教学的核心,建模就是把实际问题转化为数学问题的过程,它是一个把学生的直觉感知进行提炼、抽象的过程,而求模过程往往只是一个纯数学问题的解答过程,因此应用题的教学和考查应重在建模能力的教学和考查上.笔者在应用题的教学中,概括出了应用题的一般解题框图如下:

3.1 表述题意(说题)

在应用题的教学中,要了解学生的想法,比较有效想方法就是说题,说题就是学生运用数学语言口述对题目的理解、说解题思路和解题心得,这种说题就是自我构建数学知识的过程,是根据所学知识主动选择、信息加工和处理的过程[2],因此解应用题的重点是读题表述,通过学生自己的阅读、理解,实现“数学语言”的提练,在学生读题的过程中,教师要引导学生表述题意,找出条件是什么?问题是什么?并尽可能寻找出条件与问题的内在关系,通过“审题”学生大致地可以知道:用已学过的哪些数学知识可以解决问题,解题有了一个基本明确的方向,这也是培养学生“数学”地思考问题的最关键环节,也是“朴素数学”的直接体现.

在教学中要给学生充分的时间“说数学”,让学生尝试自己复述,学生在不经意中把现实问题“数学化”.在表述题意的过程中,由于认知能力的差异,会存在着一些疑点、难点,这更有利于教与学的促进,更好的发挥学生的主体作用,同时培养学生说数学的习惯.

3.2 构建模型

将已“数学化”了的实际问题,通过教师启发诱导,让学生运用已学过的数学知识,将它真正“数学化”——用数学符号表示的式子(比如得到函数式子、数列关系式、不等式关系式等等),同时必须要求学生联系实际,确定自变量的取值范围,这一过程成为“建立模型”[3].建模后,实际问题被转化学生比较熟悉的纯数学问题.到这个阶段,学生开始对“问题解决”有了初步的方法和策略,以下的教学就可以由学生自己完成.建模过程是数学应用题教学的核心和难点,突破这一点,教学往往可收到事半功倍的效果.

3.3 自主求解

自主求解就是要学生对已经整理的数学模型进行化简、运算的纯数学过程,要求学生独立解答的过程,也就是纯数学问题“结果化”的过程.在这纯数学过程中,要注重提高学生运用运算技巧、运算能力和解决问题的能力,渗透数形结合、等价转化、化归等数学思想方法.教学中要以学生为主体,将课堂还给学生,让学生真正成为学习的主人,但对学生存在的问题要加以点拨,澄清模型的糊涂认识.

3.4 验证回答

理论与实际往往存在差异,纯数学运算下的结果并不一定符合现实生活和客观实际,如现实生活中天数、数列中的项数往往要取整,产品的利润、风险的评估往往要取最值等等,这是纯数学与应用数学最不一致的地方,也是数学“生活化”的直接体现.高中数学应用题结论的回答一般还要附带一些说明,因而数学应用题的回答要学生根据题意用简练、明确的语言概括出来,给出一个清楚的结论.

4 案例分析

教师不但要成为学生进行数学探究的组织者、指导者与合作者,还应成为数学探究的创造者,为学生提供较为丰富的数学探究案例和背景材料.让以学生为中心的应用题教学,取代传统的一言堂的传授的教学模式,笔者在这方面做了一点尝试,把具体的案例与做法与大家分享.

案例2017年全国高考题(3):某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:°C)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数2 16 36 25 7 4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值.

分析

4.1 表述题意(说题)——让学生熟读题干,理解题意,然后说清条件是什么?结论是什么?

(生)条件1.进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完;

(生)条件2.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶;

(生)结论1.求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.

(生)结论2.设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值.

理顺数量关系完成下列审题表格(学生尽可能独立完成,不能完成生生合作,教师指导):

分析解题策略或想法条件1(见上)条件与哪些量(进货量)有关构造进货量n的代数式条件2(见上)需求量与气温有关(分类标准)根据进货量n的数量细化代数式结论1(见上)需求量X的数值古典概型求概率,分布列结论2(见上)根据进货量n范围列相应的分布列古典概型求概率,分布列题目背景数学中概率的知识和函数的知识设元直接设元还是间接设元,若间接设,设什么?为什么?

4.2 建立模型——让学生将题中的文字语言,转化为数学语言或符号语言,建立相应的数学模型.

如(生)(1)利润=(6−4)n−亏损

(生或师生合作)(2)细化Y=n(6−4)=2n(n≤200);

Y=200×2+(n−200)(−2)=800−2n(200＜n≤300);

Y=300×2+(n−300)(−2)=1200−2n(300＜n≤500).

(师)由题意可知进货量n的取值范围是:200＜n≤500.

(生)

当200＜n≤300时当300＜n≤500时Y800−2n2n2nY800−2n1200−2n2n P0.2 0.4 0.4 P0.2 0.4 0.4

因为第二问又提出了更高的要求,学生要将两问的条件和结论加以归纳,在一系列的学习实践等思考活动中发现和解决问题,在此过程中,这是一个“观察、思考”和“分析”的过程,是将感性的、形象思维上升到理性思维的过程,是学生亲身经历、积极参与活动的过程.

4.3 自主求解——应用概率知识和分布列的知识进行求解模型,得出数学结论.

(生)(1)需求量X的取值为200;300;500对应概率为:分布列为:

X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4

(生)(2)根据数学期望公式,当200＜n≤300时,E(Y)=160+1.2n,当300＜n≤500时,E(Y)=640−0.4n.

4.4 验证回答——将数学结论还原为实际问题,检验得出应用问题的结论,即当n=300时,E(Y)=160+1.2n=520,最大值为520符合题意,在此基础上,让学生体验和感受生活,发展实践能力和创新能力.

这就要求教师明确学生是学习主体,教师要为学生提供一个学数学、做数学、用数学的空间和时间,并创造给学生充分表达自己的想法的机会,关注学生在活动过程中所产生的“学习体验”和创造性的表现,因而其活动过程与结果均具有开放性.

5 实验结果分析

在新课改理论的指导下,加强应用题的探索与教学,我所教的学生与我市普通高中成绩对比,有了一点点成绩,下面是他们在高一、高二下学期,两次期末统一考试成绩与全市成绩的对比分析表.

高一下学期期末考试成绩对比表一

高二下学期期末考试成绩对比表二

经过两年在应用题教学实践,我所教的两个班学生解题能力不但在解应用题方面表现突出,而且在解其他数学问题方面也有了明显的提高.实践表明,以学生为中心的应用题教学,可以让学生更自信,更容易成为课堂的探求者和学习的主人.