“数”、“形”该从何入手？

【摘要】“数”和“形”是小学数学教学的研究对象，也是贯穿小学数学教材的两条主线。在数学教学中运用的“数形结合”教学模式时，是该“从数到形”出发，还是“从形到数”出发呢？本文将从数形结合中“规律探究”的课型出发，对“数”、“形”该从何入手这个问题进行探究。

【关键词】数形结合 教学导入 实施策略

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）28-0165-02

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合。数形结合的应用大致又可分为两种情形：第一，借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；第二，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。

那么在“数形结合”课型的教学导入环节中，到底是该“从数到形”，还是“从形到数”？哪种导入方式能让学生更顺利地学习数学知识？哪种导入方式更能培养学生的数学思想方法？在进行“点阵中的规律”一课的教学时，这些问题引起了笔者的思考。

一、教材和教学建议分析

北师大版的“点阵中的规律”这一课的教材编排，是先出示图形，以期让学生从图形中得到算式，最后找出规律。在本课的教学建议中也写到：“第一步，观察每个点阵中点的个数，你发现了什么？第二步，从不同角度观察，你会发现一些新的规律，接着画一画，说一说。教学时，建议放手让学生独立完成，而后进行交流，再呈现问题的两种划分方法。让学生先观察，说一说自己的理解，了解各种不同的划分方法的相同点，明白通过点阵研究数的形式是多样的。”北师大版“点阵中的规律”的教学建议，是“从形到数”进行导入的。

人教版的“数与形”这一课的教材编排，是图形和算式一起出示，学生直接观察两者的联系，最后总结规律。在本课的教学建议中，也给出了从数、形两方面如何导入的教学建议：“形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果，感受数学的魅力。”可以看出“从数到形”和“从形到数”两种不同的导入方式，在人教版的“数与形”的教学建议中都给予了认可。

二、学生前测情况分析

既然不同版本的教材对这一知识点的教学建议有所不同，那么到底该采取何种方式进行导入，学生才能更顺利地发现规律、理解规律。在正式课堂教学之前，针对“从数到形”和“从形到数”两种不同的导入方式，笔者设计了两份不同的前测练习，在同一个班级中，将学生随机分成了两批进行了前测。

以为下两份不同前测练习的前测分析：

从前测练习的分析结果来看，从形到数的导入方式，在第一步“观察图形补充算式”，学生能很快速地补充算式。但是在表达图形和算式的联系这一部分，大多数学生出现困难。那么，若要采取此种导入方式，教师在学生快速得到算式之后，必须要在图形和算式的联系这方面进行更多地引导。可以说从形到数的导入方式，较能顺应学生的思维发展模式。学生通过直观的图形也能快速的引入到数，这种方式简单、形象。

而从数到形的导入方式，学生在从算式想到相应图形这一步会存在一定的困难，然而学生一旦联想到“正方形”，那么在摆图形、总结规律这些后续环节便会水到渠成。在教学中若要采取此种导入方式，教师需在观察算式特点这一环节进行多角度地引导，让学生能联想到正方形。也就是说，从数到形的导入方式，学生在一开始会较难联想到对应图形。但是，一旦模型确定后，这个图形就会在后续环节中帮助学生更加顺利的总结规律、运用规律。

三、实施策略和教学效果

针对本知识点，两个版本教材的教学建议可以说并没有明确教师该采用哪种导入方式。且从前测练习的分析结果来看，两种导入方式的效果各有优劣。笔者在两个平行班级，分别采用“从数到形”和“从形到数”两种不同的导入方式进行了教学实践，并记录下了教学效果。下面将结合本课的教学实录分别来谈谈导入环节的设计思路以及后续的教学效果。

1.“从形到数”的导入

出示例题：观察图片，把算式补充完整。

1=（ ）2 1+（ ）=（ ）2 1+（ ）+（ ）=（ ）2

所有学生能快速正确地根据图形填出算式。

师：仔细观察，看一看上面的图形和算式左边有什么关系？

生1：算式左边的加数的个数与对应的大正方形中每行（或每列）的小正方形的个数相同。

生2：算式左边的加数和正好等于大正方形中每行（或每列）的小正方形个数的平方。

这部分的教学效果和前测练习的分析结果较为一致。学生能较容易地从图形中抽象出算式，非常符合学生的思维发展方式。然而当教师提到“图形和算式左边有什么关系”这个问题时，学生出现了困难，教师在此处给予了很多的引导，个别学生才能回答出完整的联系。

运用规律解决问题。（可借助学具摆一摆）

①1+3+5+7+9+11+13=（ ）2

②____________________=92

③7+9+11+13=（ ）

学生独立完成。

在解决这三个题目时，①和②两题学生完成得较好，第③题大部分学生出现了困难，且很少有学生能联系到之前的图形来辅助解决。可以看出，在应用规律解决变式问题时，学生的逆向思考能力不够。

2.“从数到形”的导入

出示算式：1+3+5+7+9+11=

師：观察黑板上的算式，你会计算吗？

生1：直接从左往右计算。

生2：首尾相加的方法。

师：刚才这两位同学真聪明，巧妙的算出了这两个题目，老师在计算这两题时，还有更巧妙的方法，只需要两秒中，就知道答案分别是62和92。你知道老师为什么做得这么快吗？

学生各抒己见，进行猜测。

师：老师的方法其实和某个图形有关，你猜一猜是什么图形。

生：正方形。

师：你为什么觉得与正方形有关呢？

生：因为正方形的面积就是边长的平方。

由于前测练习已经反映出学生在从算式想到相应图形这一步存在一定的困难，所以教师此时要给予充分的引导。教师通过语调突出“平方”这个词，并提示学生“平方”和某个图形存在关系，此时学生很自然地会想到正方形。

师：要想验证猜想，这么多的数字肯定有些难度。（PPT，算式1+3+5+7+9+11，+11消失，再+9消失，再+7消失……）我们就先从这个简单的开始。先来看1+3+5，给你们1个红色的正方形，3个黄色的正方形，5个蓝色的正方形。请你们组合成恰当的图形，让人能既看清三个加数，又能一眼看出小正方形的总数。

学生小组合作，利用学具摆一摆。（教师巡视，所有的组都选择摆成了正方形。）

师：每组说一说理由，你们为什么这样摆？

小组一：因为摆成正方形能一眼就看出小正方形的总数。

小组二：我们在摆正方形的时候，往同一个方向摆，一层一层的，这样更能看清加数。

由于之前的环节引导到位，此时小组合作没有出现困难，所有的小组都选择了正方形。但小组合作的要求不仅仅是组成恰当的图形，还要求“让人能既看清三个加数，又能一眼看出小正方形的总数”。于是就出现了个别小组摆的正方形内部颜色较混乱，没有规律，而有的小组摆的时候是一层一层往同一个方向摆的。通过交流汇报，大家总结出从算式到图形的最好的表示方式，并得到了一致认可。在接下去的找规律环节中，学生就能很好地利用数形结合发现规律、总结规律。并且由于导入模式是从数到形的，学生的逆向思维能力得到了提高，能够很好地借助图形去解决后续的题目，达到了“以形助数”的教学目标。本课的教学效果良好，学生的掌握程度也非常不错。

综上所述，结合两个班的教学实践来看，按照“从形到数”的导入方式，学生能更顺利的找到数与形之间的联系，符合学生的思维发展模式，规律的探究也更加地顺利轻松。但是此种方式也存在弊端，即对学生的逆向思维能力的提升不够。而按照“从数到形”的导入方式，学生在建立图形模型的时候会存在一定的困难，在规律的探究这个环节需要教师给予充分的引导。但是这种导入方式的优点则在于能充分培養孩子的逆向思维能力，学生一旦体会到某种图形可以表示这个规律，那么在利用规律解决问题的环节中，学生会很自然地联想到之前发现的图形，“以形助数”从而攻破难题。教师在教学中要渗透数形结合思想，数形结合能够帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。对“数”、“形”两种不同的导入方式，不同的课题、不同的知识点或许也会存在差异，各有优劣。

作者简介：

盛佩灵，1992年出生，女，大学本科学历，二级教师。研究方向：小学数学。