浅析三次函数的图像

摘要：本文主要論述了高中新课标选修教材中导数一章中利用导数研究三次函数单调性极值的过程。

关键词：三次函数；导函数；单调性；极值；图像

导数及其应用是高中数学重要内容。教材指出如果在某个区间内，都有导函数f′（x）>0，则在这个区间上，函数y=f（x）是增加的；如果在某个区间内，都有导函数f′（x）<0，则在这个区间上，函数y=f（x）是减少的。在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y=f（x）在任何一点的函数值都小于或等于（大于或等于）x0点的函数值，则称点x0为函数y=f（x）的极大（小）值点，其函数值f（x0）为函数的极大（小）值。这里笔者结合自身的教学经验，利用导数工具对三次函数的图像做简单研究，归纳总结三次函数图像的几种情况及图像的简单应用。

设任意一个三次函数为y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R），易知其定义域为R，其导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c是一个二次函数，对应的方程为3ax2+2bx+c=0，对应的判别式为Δ=4b2-12ac。

1. 当a>0时，对应的导函数为开口朝上的二次函数。

（1）若Δ>0，则方程f′（x）=0有两个不同的实根，不妨设两个实根分别为x1，x2且x1

x∈（-∞，x1）时，f′（x）>0，f（x）单调递增；

x∈（x1，x2）时，f′（x）<0，f（x）单调递减；x1为极大值点；

x∈（x2，+∞）时，f′（x）>0，f（x）单调递增；x2为极小值点；

当x的取值很大，即x→+∞时y→+∞，当x的取值很小，即x→-∞时y→-∞。

故函数的值域为R。这时三次函数的图像如图（1）

先增后减再增（图1）

（2）若Δ≤0则方程f′（x）=0有重根或者无实根，则导函数f′（x）≥0在R上恒成立且只在二次函数的顶点处等于0，易知f（x）为R上的增函数，值域为R。这时三次函数的图像如图（2）

递增（图2）

当a>0时，函数图像先增后减再增或在R上递增。

2. 当a<0时，对应的导函数为开口朝下的二次函数。

（1）若Δ>0则方程f′（x）=0有两个不同的实根，不妨设两个实根分别为x1，x2且x1

x∈（x1，x2）时，f′（x）>0，f（x）单调递增；x1为极小值点；

x∈（x2，+∞）时，f′（x）<0，f（x）单调递减；x2为极小值点；

当x的取值很大，即x→+∞时y→-∞，当x的取值很小，即x→-∞时y→+∞。

故函数的值域为R。这时三次函数的图像如图（3） ：

先减后增再减（图3）

（2）若Δ≤0则方程f′（x）=0有重根或者无实根，则导函数f′（x）≤0在R上恒成立且只在二次函数的顶点处等于0，易知f（x）为R上的减函数，值域为R。这时三次函数的图像如图（4） ：

递减（图4）

当a<0时函数图像先减后增再减或在R上递减。

我们借助导数的工具对三次函数的图像和性质进行了研究：根据三次系数的正负与导函数判别式的符号来确定函数在R上的单调性，或增，或减，或先增再减再增，或先减再增再减。再结合极值的情况就可以确定零点的分布，可能一个零点，可能两个零点，也可能三个零点。

【例1】函数f（x）=ax3+bx2+cx的图像如图所示，且 f（x）在x=x0处与x=2处取的极值，则f（1）+f（-1）的值一定（）

A. 等于0

B. 大于0

C. 小于0

D. 小于或等于0

解析：由该三次函数图像“先增再减再增”可知a>0，f′（x）=3ax2+2bx+c，由题意x0+2=-2b3a>0故b>0。而又f（1）+f（-1）=2b，所以f（1）+f（-1）>0故选B。

【例2】函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示，则下列结论成立的是（）

A. a>0，b<0，c>0，d>0

B. a>0，b<0，c<0，d>0

C. a<0，b<0，c>0，d>0

D. a>0，b>0，c>0，d<0

解析：由该三次函数图像“先增再减再增”可知a>0，f′（x）=3ax2+2bx+c的两个零点为正数，故x1+x2=-2b3a>0，x1·x2=c3a>0。故 b<0，c>0，再由图像可知f（0）=d>0。综上，正确选项为A。

点评：由三次函数的单调性或增，或减，或先增再减再增，或先减再增再减以及极值情况可以判断出系数a，b，c的符号，从而解决与系数的相关问题。

作者简介：

石群英，陕西省汉中市，汉中中学。