高等数学微课堂教学设计初探

屈娜　李应岐　刘华

摘 要 在微积分基本公式的微课堂教学设计中，引导学生通过观察、探究、猜想等不完全归纳思想到完备的理论证明，培养了学生的数学思维能力以及创新意识。

关键词 数学思维能力 微积分基本公式 几何探究

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.05.051

Discussion on the Teaching Design of Micro Course in Higher Mathematics

——Take calculus basic formula as an example

QU Na， LI Yingqi， LIU Hua

（Rocket Force University of Engineering， Xian， Shaanxi 710025）

Abstract For the teaching design of N-L formula， through incomplete induction such as observation， inquiry and conjecture to complete proof theory， the design cultivates students' mathematical thought and consciousness of innovation.

Keywords mathematical thought； N-L formula； geometrical inquiry

0引言

微课是近几年来出现的一种新型教学形式，以短小精悍的微型流媒体教学视频为主要载体，针对某个知识点或教学环节而精心设计开发的一种情景化、可视化的数字化学习资源包。微积分基本公式是高等数学中的重点教学内容，适合微课的选题。传统教学中，微积分基本公式是以积分上限函数为基础进行学习证明的。但积分上限函数是学生接触的一种新型的抽象函数，对其定义的理解以及导数的研究是高等数学中的难点内容，在学生的认知水平上产生了一个断层，用难点证明重点，对学生在课堂上的学习理解来说，无疑是雪上加霜。

在引进新概念、新理论时，应尽力做到使学生在思想上有所准备，不觉突然，尽可能地看到这些内容的引进是自然的、必要的。维果斯基的“最近发展区”理论认为：学生的发展有两种水平，一种是学生的现有水平，另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。教学应着眼于学生的最近发展区，调动学生的积极性，发挥其潜能。基于以上考虑，贯彻“以知识为载体，培养学生的数学思维能力”的理念，为了达成教学目标，本次微课设计遵循明暗两条线，以几何探究为重点讨论过程，收到了较好的教学效果。

1 “微积分基本公式”的教学实施

1.1 提出问题，激发学习兴趣

定积分是一种特定和式的极限，其中区间的分法以及子区间 的取法均任意。由定义的可逆性，我们可通过构造和式取极限来求得定积分，比如计算，但是该方法具有明顯的局限性。为了推广定积分的应用，必须寻求计算定积分的一般方法，在复习巩固旧知的基础上提出新问题。

1.2 分析问题，培养思维能力

基于建构主义及学生的最近发展区理论，任何一种理论方法的形成都与其相关概念产生的背景或者一些先验知识有关。因此为了解决定积分的计算问题，首先回到定积分概念产生的物理背景——变速直线运动的路程，营造探究解决问题的课堂环境。

讨论1（物理观察）

假设汽车做变速直线运动，位置函数、速度函数分别为，现求汽车在内所走过的路程。该问题可启发学生从两个角度进行讨论，过程如下：

定积分角度： 初等数学角度：

注意到两个函数之间内在的联系，引导学生可将结论转化为如下形式：

（1）

（1）式说明：速度函数在区间上的积分值可以用它的一个原函数在区间上的增量来表示，为定积分的计算提供了一个新的思路。进一步在这个物理模型的启发下，带动学生讨论：对于一般的函数，该结论是否普遍成立？注意到速度函数的连续性，引导学生将所要讨论的问题用数学语言进行描述，给出本次课要解决的核心问题：

问题：假设在上连续，是在上的一个原函数，则

（2）

接下来从几何上做进一步的探究，注意到（2）中两个函数之间的关系，结合之前已有的知识基础，在几何上将问题转化为寻找函数增量及其导函数之间的关系。

讨论2（几何探究）

目标：创设特定学习环境，在几何上试图建立函数增量及其导函数之间的关系。一般来讲，连续函数在几何上表示一条连续曲线（特例研究）。等式（2）右端的函数增量在几何上表现为曲线上对应点处纵坐标的增量。提出问题：能否在几何上建立起此增量与导函数之间关系呢？

对于曲线纵坐标的增量，学生并不陌生。学习微分概念时，微分思想中的“以直代曲”表明：该段增量可以用点处的切线上纵坐标的增量来近似。表现在代数形式上即成立如下结果：

（3）

而（3）式就是关于函数增量及导函数之间的一个关系式，事实上它也是近似计算函数增量的一个方法。但是这个关系式显然与（2）式相差甚远。如何解决问题呢？提示学生注意到“以直代曲”的局限性：它仅仅在局部范围内近似的比较好。进一步提出问题：如何建立起增量和导函数之间更好的关系式呢？由近似计算的启发，问题转化为：如何提高这种近似计算的精度？

为了提高精度，回想在求曲边梯形面积时采取的方法，讨论过程如下：

首先：在中任意插入个分点，过每个分点做平行于轴的直线，这样可将曲线在整个区间上纵坐标的增量分成个子区间上纵坐标的增量。

其次，在每个子区间上“以直代曲”。即在第个子区间上，用左端点处切线上纵坐标的增量来近似曲线在该区间上纵坐标的增量。

第三步，将个近似量相加，便可得到一个好的近似值。事实上，利用matlab软件进行曲线纵坐标的逼近实验。我们发现，随着分点个数的增加，误差越来越小，近似程度越来越好。当n=200时，两者吻合得已经相当好了。

代数形式上我们得到如下关系式：

（4）

当分点给定后，注意到（4）式永远只是近似的关系。能否得到两者之间精确的关系呢？由逼近结果以及定积分的思想得到解决问题的思路：只需对区间无限细分。

第四步，令小区间的最大长度取极限，两者精确关系式便可建立。而另一方面连续，（4）式右端和式的极限并不依赖于区间的分割以及子区间的任意取点，由定积分定义，它恰为在区间[]区间上的定积分，即成立下式。

（5）

通过几何上的逐步寻找讨论，得到了与求物理背景中的路程问题同样性质的结果。在该过程中，通过一步步的引导分析，锻炼了学生的联系已知，探索未知，运用已学知识解决遇到新问题的能力。

讨论3（理论证明）

通过物理观察和几何探究得到的结果，定积分的计算貌似可以转化为求被积函数的一个原函数的增量。但该结论要严格成立，必须给予理论上的证明。在证明过程中，启发学生由几何探究得到的启示，借助于已有知识基础——微分中值定理进行理论证明。

1.3 解决问题，介绍数学史，融入数学思想

由上述递进的讨论过程得知，该结论是普遍成立的。介紹数学史，牛顿从运动学的角度入手，而莱布尼茨从几何学的观点，运用分析学的方法研究的。后人为了纪念他们的伟大成就，将此公式称为牛顿-莱布尼茨公式。定理的重要意义在于，其一给出了求定积分的一般方法，其二建立了积分学中的定积分与微分学中原函数概念之间的关系，将微分和积分统一起来，微积分学才成为一门真正的学科。从这个意义上来说，牛顿莱布尼茨公式在微积分的发展史上起着里程碑的作用，因此也将其称为微积分基本公式。

2 小结

微课重在设计，它更多的取决于教学设计和教师的教学智慧，麻雀虽小五脏俱全，微课的短小精悍最终必须落脚在“精”和“悍”。“精”体现在教学设计的精彩，“悍”体现在学习效果的震撼。本次微课从物理观察、几何探究、严格的理论证明三个方面对该重点内容进行了设计，不仅加深了学生对重点内容的理解，而且对于培养学生的数学思维能力收到了良好的效果。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系.高等数学（7版）[M].北京：高等教育出版社，2014：314-320.

[2] 黄宽娜，刘徽，江志华.基于MOOC思想下的高等数学微课教学的设计与应用[J].西南师范大学学报，2016.41（10）：146-150.

[3] 程茜.大学数学微课程设计初探[J].科教导刊，2016.21：37-38.