突出实用特性的线性代数教学方法探索

刘明

摘 要 针对线性代数课时短、难度大导致的教学效果不理想问题，不同于传统的教学方式，本文提出了一种突出实用特性的线性代数教学方法。通过理论联系实际的教学方法激发学生学习线性代数课程的主动性，提高学生对抽象数学公式的直观认知，实现教学质量的有效提升。

关键词 线性代数 实用特性 教学方法

0 引言

线性代数是数学的一个重要分支，同微积分一样，是一门重要的数学课程。它是处理矩阵和向量空间的数学分支，是一门非常有效的工具学科，在现代科学的各个领域都有广泛的应用。[1-2]

线性代数是工科各专业必修的一门基础理论课，是学生后续进行科学研究和工程实践必须掌握的基础课程。可以说，线性代数已经渗透入了生产和生活中的方方面面，在关系国计民生、国防安全、航空航天等重要领域中发挥着重要的作用。[3-4]由于该课程在本质上是一门数学学科，而且学时少、内容多、难度大，[5-6]对于这种性质的课程，单纯依靠授课老师以传统方式进行授课，很难取得满意的教学效果，容易使学生产生厌学情绪。如何提高学生的学习兴趣，激发起学生的学习主动性至关重要。已经有诸多学者提出了结合MATLAB进行线性代数的教学方法，并取得了一定程度教学效果的改善。[7]然而，除了在教学手段上采用传统板书教学与多媒体课件相结合的方式以外，还需要在教学设计上狠下功夫，提高学生的学习积极性，积极开拓学生思维，培养分析问题和解决问题的能力，这是提高线性代数教学质量的必经之路。

1 线性代数学科的特点

线性代数这门课程概念很多，内容抽象难懂，且学习内容前后联系非常密切，概念、性质、运算法则多而杂。大部分学生为了应付考试，主要是依靠大量做题来提高成绩，而对于数学思想和理念，则感到茫然无措，无法深入理解线性代数的精髓。

线性代数是目前很多非数学专业大学生必修的基础课程之一，如电子信息类专业、通信工程类专业、计算机机科学类专业、机械工程类专业、控制科学类专业、航空航天类专业等，是相关专业硕士研究生学习、博士研究生学习的基础。各个阶段的学生毕业以后，无论后续从事科学研究还是工程设计工作，均与线性代数息息相关，其已经渗透进了我们生活和工作中的点点滴滴。在计算机日益普及的今天，线性代数课程的地位和作用显得更为重要。由于线性代数问题广泛存在于自然科学和工程技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下也可以转化为线性问题，因此线性代数的理论和方法得到了广泛的应用。但是，线性代数的高度抽象性和逻辑严谨性让许多大学生望而生畏，感到枯燥乏味，很难产生主动学习的兴趣，大多学生仅仅是为了应付考试而进行被动学习。

欲使学生学好线性代数，强化学生的自主学习兴趣是核心所在，作为主讲老师需要从根本上改善数学学科的繁难、枯燥、乏味等负面特点，使学生在学习线性代数的过程中能享受到乐趣。线性代数是一门思维抽象且逻辑性强的学科，课堂上如何使抽象的概念通俗化、复杂的知识简明化，在有限的时间里，如何使学生的逻辑思维得到最大限度的训练，让学生生动直观地感受到线性代数强大的力量和魅力所在。

2 突出实用特性的线性代数教学

虽然线性代数的本质为数学课程，但如果按照传统的教学思路进行授课，只是针对课程中的数学定义、概念和理论进行授课，则无法从根本上改善数学学科的繁难、枯燥、乏味等负面特点，从而很难避免让学生产生厌学情绪，激发学生的学习兴趣更是无从谈起。

如果能够突出线性代数的实用特性，使学生生动真切的感受到线性代数的力量和魅力，结合具体的实际应用背景，则较为容易激起学生的学习兴趣，使学生觉得学有所用，感受到学习线性代数这门课程的必要性。那么为线性代数的教学内容找到具体应用的实例，是理论结合实际进行线性代数教学的重中之重，授课教师需要在这方面下功夫钻研，使得实际应用的例子能完美无缝地衔接进授课内容当中。

一种非常有效的方式就是教师将其自身的科研应用引入到课堂教学当中。教师对自己课题的研究都相当深入，对线性代数在具体应用中的物理意义理解透彻，可以达到深入浅出讲解抽象定义和概念的目的。此外，由于教师自身对应用背景较为熟悉，也容易激发学生开展钻研相关领域研究的兴趣，为后续研究生求学或相关领域求职打下基础。以下通过本课题组科研项目中用到的一个科研实例对矩阵部分的基础定义和概念开展分析。

2.1 矩阵的相关概念

矩阵：由m譶个元素aij（i=1， 2， …， m； j=1， 2， …， n）排成的m行n列数表，称为一个m譶矩阵，记为：

其中，aij称为该矩阵第i行第j列的元素，也可称为矩阵A的第（i， j）元。

方阵：行数与列数相等的矩阵，称为方阵。

矩阵的转置：将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵，记为AT。

对称矩阵：设A=（aij）为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji，（i， j=1， 2， …， n），称A为对称阵。

单纯的数学定义无法使学生产生直观的认识，死记硬背概念和公式不但会使学生本能的产生厌学心理，更为重要的是，即使暂时记住了概念和公式，由于无法理解其深入的含义，过一段时间也会忘记。

2.2 目标识别中矩阵的应用

在图像处理、数据分类与聚类分析、飞行器设计、自动控制、目标识别领域中，矩阵的应用随处可见，以下以SAR图像目标识别中的一个例子对矩阵的应用进行说明。识别时可通过近邻矩阵的构建描述数据的局部结构，实现数据细节信息的有效捕获与保持，为高精度识别提供基础。将近邻矩阵P的每一個元素Pst建模为以下形式：

（1）

其中，vs和vt表示数据集中的第个和第个样本，=1，2，3…，表示SAR图像的训练样本总数，exp[Y宂表示指数函数，为常数，实际中可通过交叉验证方法确定，表示样本vt的个近邻点，表示样本vs的个近邻点。表征了样本vs和vt的局部结构信息，可实现数据内在本质特性的准确描述。仔细观察公式（1）可以发现，如果样本vs和vt的距离较近，则对应公式（1）的权值较大，如果样本vs和vt的距离较远，则对应公式（1）的权值较小。通过构建融入公式（1）的目标函数，即可实现数据局部结构的有效描述。高维空间距离相近的目标样本，在经过降维处理后，在低维空间里相应样本之间的距离仍然较近。数据的本质结构特征得到了准确的描述和保持，为高精度的SAR图像目标识别提供了基础，有效减弱了目标SAR图像的方位角敏感特性。

仔细观察公式（1）可以发现，公式（1）表示的矩阵为一个对称矩阵，因为P=PT，满足对称矩阵的定义。从其物理意义可知，其既可以实现样本vs和vt之间关系的描述，也可以实现样本vt和vs之间的关系描述，因为这两个样本在空间中的分布是确定的。

通过近邻矩阵对数据结构进行描述后，可通过分类器实现识别。通过这个具体实际应用中的例子，不仅可以使学生从枯燥的数学定义中摆脱出来，更重要的是让学生不再迷茫困惑。然而需要说明的是，在教学中也不宜引入过为复杂的矩阵应用，因为复杂的应用和推导又容易使学生产生畏难情绪，或者使得学生陷入复杂的应用背景研究，而忽略了线性代数本身的学习。

3 结论

为克服线性代数教学过程中不可避免的概念定义多、抽象难懂的问题，提高学生的学习主动性，本文提出一种突出实用特性的线性代数教学方法，通过理论教学与科研实际中的具体应用背景中涉及的线性代数知识相结合的办法，使得学生对枯燥抽象的数学概念有较为生动的理解和掌握，达到提高教学质量的目的。

参考文献

[1] 王正盛.中外线性代数教材的比较与探讨.大学数学，2009.25（1）：200-203.

[2] 陈怀琛.线性代数要与科学计算结成好伙伴.大学数学，2010.26（1）：28-34.

[3] 赵文.线性代数教学的实践与探索.军队院校数学课程创新教学研讨会，2012-07-01.

[4] 李玲.工科线性代数教学的思考与体会.黑龙江科技信息，2012（11）：187-187.

[5] 李炜.浅谈工科线性代数的教学.杭州电子科技大学学报，2006.2（1）：50-52.

[6] 杨磊.浅谈线性代数案例教学法的几点体会.高校理科研究，2010（20）：536-537.

[7] 马建荣，刘三阳，高淑萍，陈怀琛，杨威.用MATLAB增强线性代数教学效果的实践与探索.大学数学课程报告论坛，2008-11-08.