用数学的眼光观察世界

张雳 龚健梅

导读

为了让学生用数学的眼光观察世界，张雳老师让学生经历从找三角形物体（有形有质，属性丰富），到用三根小棒拼三角形（有形有质，属性单一），再到画三角形（有形无质，无其他属性）这样一个过程。学生在不經意间经历抽象的过程，从而认识三角形，更重要的，在这样一个抽象的过程中，学会用数学的眼光观察世界。

史宁中教授说过：数学学习的最终目标，是让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达数学世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是建模。三角形是学生在整个空间与图形领域很重要的一个图形。三角形是有形无质的图形，如何让学生从生活中的三角形物体中抽象出三角形，如何认识图形中的抽象概念——高，是“三角形的认识”这节课的两个难点。让学生经历用数学眼光观察世界的过程，不失为良好的教学突破口。

一、情境导入

（出示金字塔、斜拉大桥图片。）

师：图中有三角形吗？

生：有。

师：指出图片中的三角形。

（请学生指出三角形。）

师：我非常感谢他，没有指一个点，而是指出三角形的轮廓，一眼就能看清楚三角形在哪里。很好，掌声送给他。

师：图中其实还有更多的三角形，谁来找找看。

（几个学生比画出更多的三角形。）

师：生活中还有哪些有三角形，谁能举个例子？

生：红领巾、衣架、黑板、路标、古代的建筑、三角旗……

师：其实我们生活中很多地方都有三角形。

（PPT展示红领巾、三角尺、路标。）

教学反思：本环节在生活中找寻三角形物件，让学生徜徉在古代与现代之间，感受古代文明与现代生活气息，唤起学生学习三角形的内驱力，激发学生学习三角形的兴趣，初步感知三角形的特点。学生们认真观察，能手口一致地描绘三角形，积极举手发言，大胆质疑和补充。当学生误找角时，给学生更多的鼓励和肯定，也能给课堂营造轻松愉悦的氛围。

二、引入新知，摆一摆，画一画，说一说

师：三角形居然在生活中有这么多应用，它肯定有奥秘。今天这节课，我们就来认识认识三角形，它到底有哪些妙处？

板书：三角形的认识

师：请同学拿出学具，摆一个三角形。注意摆一个三角形需要什么条件。

（教师指导，各小组合作摆出一个三角形。）

师：请哪一组汇报一下，构成三角形需要什么条件？

生：三条边、三个角、三个棍子。

师：需要三根棍子，它就需要三条边，那还需要注意什么？

生：必须连接起来。

师：哪里需要连接起来？拿一个三角形比画一下。

生：它们每条边的端点要相互连接。

师：每条边的端点，因为我们每条边是线段。我们能摆一个三角形，那能不能画一个三角形呢？请同学们边画边想，你是怎样画这个三角形的？你画的三角形有什么特点？

（学生拿出笔画，教师个别指导。）

师：请一个同学上讲台画一个三角形。

（生在黑板上画一个三角形。）

师：你觉得哪一笔最难画？

生：都不难画。

师：你们觉得哪一笔比较难画？

生：最后一笔最难画。

师：最后一笔是哪一笔？请同学上讲台指出来。

师：最后一笔为什么难画？

生：它要将两个端点连接起来。

师：是的。我们摆三角形，画三角形，想一想，到底什么是三角形？哪一位同学能试一试一句话讲清楚？

生：有三个角的图形是三角形。

生：有三条边的图形是三角形。

师：有三个角的图形是三角形，有三条边的图形是三角形，好像都对。怎么讲才让人听得明白呢？那么我们来看看数学上怎么规定。

板书：由3条线段围成的图形。

师：而且这三条线段怎么围呢？

生：端点要连起来。

（PPT出示两个图形，一个没有相连，一个没有与端点相连而是与线段中间相连。）

师：哪里出现问题？

生：第一个图形没有连接起来，就是没有围起来。第二个图形凸出来了。

师：凸出来的意思就是没有连到端点。所以我们对三角形是有要求的。

板书：每相邻两条线段的端点相连，叫作三角形。

（学生把板书读两遍。）

师：你们认为这句话哪些词语比较重要？

生：相连。

师：要注意端点相连。

生：三条线段。

师：就是说三条线段，两条线段不行。

生：相邻两条线段。

（给“相邻”加着重号。）

生：围成。

师：对，要围起来。没有围起来就不是三角形。同学们，再读一遍，把你们找到的关键词语读出来。

（学生朗读，并能够很好地重读出关键词语。）

教学反思：此环节通过“摆一摆”，进一步让学生感知三角形的特点，让学生经历三角形的第一步抽象，有质有形，其他非本质属性减少，比如铁质、木质，颜色等；通过“画一画”的操作活动，唤起学生对三角形的回忆，进一步感知三角形的本质属性；通过“说一说”的活动，真正将三角形抽象出来——由三条线段围成的图形叫三角形。

三、认识三角形的各部分名称，用字母表示三角形

师：我们来找一找三角形有几个顶点，几个角，几条边？

（教师展示PPT三角形。）

生：三条边，三个角，三个顶点。

师：三角形顾名思义就是三个角，三条边，三个顶点。

（学生在练习本上操作。请同学上台画三角形，标记出它的顶点、边、角。学生在图上标注这些名称很辛苦，且影响图形美观。PPT出示给三角形标注顶点A、B、C。）

師：告诉你们一个好消息，从此你的三角形就有名字了。叫什么名字？

生：三角形ABC。

（教师板书三角形ABC。）

师：请同学们找出三角形的顶点。

生：A旁边是顶点。

师：不是A旁边是顶点，是用A表示这个顶点。

（教师板书3个顶点A、B、C。）

师：除了三个顶点还有什么？

生：三条边。

师：那三条边怎么表示呢？

（请一个同学指。）

师：那这条边叫什么呢？

生：这条边叫AB。

师：为什么？

生：因为它的两个端点是A和B。

师：很厉害，是这样的。这样我们就有几条边？分别叫什么？

生：AB、AC、BC三条边。

（板书3条边AB、AC、BC。）

师：我们三角形还有最明显的特点，三个角，谁来找？

（请同学到讲台上用粉笔标出。）

师：这叫什么角？

生：A角、B角、C角。

师：但是我们在数学里面怎么叫？

生：角A、角B、角C。

师：角的符号是什么？用什么表示，谁来比画一下？

（学生上台写∠A、∠B、∠C。）

教学反思：本环节让学生在抽象出的三角形中认识三角形，推理三角形的图形特点，建立三角形模型。教师的问题简单易懂，比如说“三角形有几个边，几个角，几个顶点”，学生很快就能回答出来。教师适当引导学生说出顶点的名字。从学生画三角形，到准确标出三角形的顶点，再到给三角形顶点命名，学生学习起来循序渐进，很快掌握了三角形顶点的概念，依次类推，掌握三角形的相关知识。

四、认识三角形的高和底

师：三个顶点，三个角，三条边，它还隐藏了一个东西，你们猜？

生：高。

师：你们认为谁是三角形的高？

生：从A点到BC的垂直线。

师：你还强调什么？

生：垂直线。

（PPT展示两个三角形，分别画了三条垂线段，第一个三角形中是顶点到对边的垂线段，第二个图形中没有从顶点开始。）

师：哪个是高？

生：第一个是高。

师：从顶点A到对边BC的垂直线段就是高。另外一个是高吗？

生：不是。

师：一个顶点到它对边的一条垂直线就叫高。

（PPT展示从三角形的一个顶点到它对边作一条垂直线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。）

师：请同学们在自己画的三角形内画出一条高。

（学生动手操作。）

师：谁能帮我画一下？需要什么工具？

生：三角尺。

（请一个学生在讲台上画三角形的高。）

师：你在画的同时，能不能告诉同学们你是怎么画的？

生：从∠A顶点垂直画线。

师：怎么画？

生：先用三角尺的一条直角边与三角形的底边重合，再平移三角尺靠近对面的顶点，再沿着三角尺的另一条直角边从顶点开始往底边画线。

（老师根据学生的操作及发言板书：1.重合；2.平移；3.画线。）

师：哪里是高？

（学生一起指出来。）

师：你叫什么名字？

生：×××。

（请学生上台在黑板上写上自己的名字，并命名为×××画高法。）

师：今后画三角形的高，请记住这位同学画高所使用的方法。三角形有三条边、三个角、三个顶点，那么三角形的高有几条？

生：三条高。

（PPT展示：1.以BC为底，画BC边上的高；2.以AC为底，画AC边上的高；3.以AB为底，画AB边上的高。）

师：以BC为底，哪个是它的顶点？以AC为底，哪个是它的顶点？以AB为底，哪个是它的顶点？

生：以BC为底，顶点A；以AC为底，顶点B；以AB为底，顶点C。

师：有什么发现？

生：顶点所在的对边是另外两个点所在的那条边。

师：谁能讲得更清楚？

师：A为顶点，那对边就是底，顶点也在它的对面。

（同学们动笔画三角形的三条高。在操作过程中，有学生转动作业本，这样每次底边在下，顶点在上，作高就比较好操作。）

师：大家都画得差不多了，请一个同学到黑板上来展示（主要看看不能转动图形时怎么办）。

（以左右两条边为底时，学生一开始没能找到放置尺子的方法。比画了几次后，师提醒：“一重合是什么与什么重合？”生回答：“是三角尺的直角边与底边重合。”她马上想到先用三角尺直角边去与三角形的底边重合，再用另一条直角边对着顶点，顺利完成了作图。）

师：一重合，二平移，三画线。这个三角形有三条高，是不是其他三角形也有三条高？

（PPT展示直角三角形作高，用动画展示三角尺的重合、平移、画线过程，作出直角三角形的三条高。）

师：发生一件很奇怪的事情？

生：高与三角形的两条直角边重合了。

师：还是它的高吗？

生：是。

师：底在哪里？

生：另一条直角边。

师：还有更奇怪的事呢。

（PPT展示钝角三角形的三条高。当作出两条较短边上的高时，学生们“啊”了起来。）

师：大家发现，又有什么奇怪的事？

生：这个三角形有两条高在外面。

师：那还是不是它的高？

生：是的。

师：那这两条高对应的底在哪？

生：AC和AB。

师：你能来指下吗？

（学生在黑板上指出AC和AB的位置，没有包括延长线。）

师：我们发现这些三角形都有三条高。

（PPT再将三种三角形的高总结展示出来。）

教学反思：本环节学生动手操作，在已学的垂直概念的基础上，引入三角形的底和高。学生独立、认真思考如何画出三角形的高，感受三角形的高与底是相互依存的关系，建立高模型，为学习三角形面积的计算奠定基础。课件展示不同三角形的高和画法。在展示钝角三角形的两条高时，学生能够很好地找到对应的底边，没有出现以往的将延长线也作为底边的情况，这可能就是用字母表示端点带来的好处。

五、巩固练习

PPT展示题目：

（1）由三条（ ）围成的图形叫三角形。一个三角形有（ ）条边，（ ）个顶点。

（2）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫三角形的（ ）。任意三角形都有（ ）条高。

六、总结

师：这节课有什么收获？

生1：我知道三角形有三条边、三个顶点、三个角。

生2：我还知道三角形有三条高，可以用×××画法来画三条高。

……

教学反思：整节课，学生都是在动手操作及思考中经历三角形的抽象、推理与建模过程，从而建立三角形的概念。

（小背景：本节课上课的学生是象山学校的学生。象山学校从2014年提出“学科建设”以来，一直在试行“自主合作+”形式的课堂教学。所以，本班学生在上课前都会进行自主学习，对教材中的概念及例题进行预习。所以，在课堂上学生对于概念是有一定的认识的。教师更多地引导学生经历抽象、推理、建模的过程。）

（作者单位：江西省贵溪市象山学校 江西省贵溪市教研室）

□责任编辑 李杰杰

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