对同一道数学题的不同解法回归知识的生成

陈永红

【摘要】数学是一门基础学科，具有严谨性、抽象性、广泛应用性三大特點，系统性强，知识链条、前后衔接、环环相扣，并总是按照“发生，发展，延伸”的规律，自然的构成每一单元的整体。数学学科不但本身分值较重，直接影响着升学，同时也影响着学生对其他学科的学习，所以学好初中数学是十分重要的。“一题多解”作为初中数学教学的重要组成部分，对于掌握解法、激发兴趣、巩固双基、启发思维具有十分重要的意义。但是在实际的教学过程中，大多是通过题海战术，局限于解题技巧和方法步骤的教学，缺乏对其本质的认识。“一题多解”教学的本质就在于方法本身的发现，让学生通过解题过程发现解题的方法。本文笔者通过用多种方法去解一道数学题，来探讨来学生对知识生成重要性的学习。

【关键词】一题多解 知识生成 初中数学教学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）05-0268-02

一题多解指的是通过不同的思维方式，运用至少两种以上的方法或途径来对同一道题进行解答[1]。在初中数学教学过程中，一题多解是对一道问题从不同的角度和层次进行思考与分析，然后提出不同的解决方案。一题多解教学可以拓宽学生的思维方式，有利于学生将内在知识联系起来，促进知识的转化，回归知识的生成。

一、一题多解对初中数学教学的重要性

1.一题多解有助于知识体系的建构

美国认知教育心理学家奥苏贝尔曾说：“学习是无意义的、机械的还是有意义的，关键在于能否在新旧知识之间建立起合理的、实质的联系[2]。”在初中数学教学过程中，建立新旧知识的联系就是教学的一个重难点。而一题多解可以通过一道题目联系到很多的知识点，引导学生在知识间建立更多的联系。学生通过思考学习，可以对比不同解法的优缺点，进而进行知识的归纳整理，整合成一块系统的知识块，既可以减少记忆的负担，也可以增加运用的有效性。

2.—题多解有助于提高学生解题能力

数学的核心在于问题解决，数学教学的一个重要目的就是培养学生的解题能力。提高解题能力既要知道怎么做，还要知道为什么这么做。如果学生可以主动去进行一题多解，就会发现很多知识间存在的隐形联系，使知识间更紧密地联系在一起，进而形成一个更有序的系统，解题时能快速有效地调动知识。通过一题多解，既可以增加纵向知识间的联系，扩展知识的广度，避免机械式的做题 也有利于学生寻根溯源，增加知识的深度，避免就题论题，真正提髙解题能力，激发数学学习的兴趣[3]。

3.一题多解有助于培养学生创新思维

一题多解教学需要学生对同一道题目结合不同的知识、从不同的角度入手、突破常规的解题思路来解答问题。这个解题的过程就是刺激发散的过程，可以充分发挥学生想象力，通过不断的尝试把问题与以前的知识联系起来，发散能力的不同，联系到的知识范围就不同。一题多解教学在课堂上给学生灌输创新的意识，使学生在解题过程中产生认知冲突，进而激发学习数学的兴趣，激活学生的创新思维，同时，教师再根据学生的反应，设置问题，引导、启发学生进一步思考，有效提高课堂教学效果[4]。

二、初中数学一题多解的实例分析

本文笔者对2012年中考第25题进行改篇，通过对看到的不同的几何基本图形来进行不同的解法，研究复习初中几何三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形以及菱形的知识。

1.例题呈现

题目：在平行四边形ABCD中（见图1），AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设设∠ABC=α（60°≤α<90°）。当60°<α<90°时，是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值 若不存在，请说明理由。

点评：本题考查了三角形外角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识。而作出辅助线，构造什么样的基本图形是解题的关键。

2.求解思路及回归知识生成

题目分析：当看到线段中点，线段平行，研究角的关系时，马上联想到构造全等三角形。延长EF交CD的延长线于G，连接CF。构图之后引导学观察图形，这个时候，重点不是解题，而是引导学生把观察到的全等三角形、等腰三角形、直角三角形找出来，然后进一步对这三个图形的基本性质，尤其关于角度方面的性质列出来。两个全等三角形的对应角相等，对应边相等 对于直角三角形，通过看图发现，斜边上的中线等于斜边的一半，也就说这个时候发现了三个等腰三角形，那么等腰三角形的性质是两个底角相等。此时，教师可以进一步提问，等腰三角形的两个底角相等是通过用什么方法证明出来的？通过画图可知是利用画底边上的高，用HL证明全等而得到。此时，又可以引导学生证明等腰三角形里三线合一的重要性质。然后教师又可以提出，既然大家都知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个定理又是通过什么方法证明出来的呢？其实，用这个定理是大家熟悉的，但对这个定理的生成，很多学生已经忘记了。下面来证明直角三角形斜边上的中线定理。

证明：已知△ABC是直角三角形（见图2），AD是BC上的中线，求证AD=CB/2。

对直角三角形斜边上的中线定理的证明过程是很重要的，通过证明过程，既可以让学生熟悉三角形中位线的定理，又可以加固线段中点加垂直，即垂直平分线在证明中的应用。通过之前对这几个基本几何图形的分解，和再次地展现定理和性质的生成，这个过程其实已经启发学生，有利于学生自主地提取已有的知识经验，与任务相关的经验，来分析问题和解决问题。因此，这个时候再回归这道题目，发现了等腰三角形△DFC，Rt△GCE，等腰三角形的性质是两个底角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，继而是三角形的外角等于不想邻的两个内角和，就可以证出这道题。

解法1构造一个三角形

延长EF交CD的延长线于G，连接CF（见图4）。易证△AFE≌△DFG（AAS），∴EF=GF。在Rt△ECG中，CF= EG=GF，∵BC=10，AB=5，F为AD的中点，∴DF=DC，∴∠AEF=∠G=∠DCF=∠DFC，∴∠EFC=∠G+∠DCF=2∠AEF，∴∠EFD=3∠AEF。因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

解法2构造另一个三角形（中考标准答案）

思路分析：通过第一种证明方法的引入和分析，这个时候就能够启发学生，是否有另一种方法来构造全等三角形来进行证明？通过引导学生，可以发现通过一边进行延长，构成另外一个全等三角形，即连接CF并延长交BA的延长线于点G，很快证明出来。

证明：连接CF并延长交BA的延长线于G（见图5），∵F是AD的中点∴AF=FD。在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。在△AFG与△DFC中，∵∠G=∠DCF，∠AFG=∠DFC，AF=DF，∴△AFG≌△DFC（AAS）∴CF=GF，AG=CD。∵CE⊥AB，∴∠CEG=90°∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴∠AEF=∠G。∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF= AD= BC=5，∴AG=AF，∴∠AFG=∠G。在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF，∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF。因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

反思：在复杂的几何图形中，分解出基本的简单图形，在已有基本图形中寻找出基本元素及其关系的能力，而对于这些基本图形的补全，恰恰是做辅助线的思维出发点。它们的性质是解题的突破口，让学生感悟到补全基本图形，辅助线就是水到渠成，从而解有所获，因此分离基本图形非常重要，每一个知识点都让学生学透，这样综合效果就会比较好。

解法3构造菱形

思路分析：通过观察图形发现已经有平行四边形了，那么，我们能不能够通过构造出特殊的四边形，来证明这道题。当发现FD和DC都等于5的时候，很容易会想到构造菱形。然后，继续引导学生，菱形有什么性质，通过边、角、对角线进行分析和论证这些性质的生成，当然用大家熟悉的全等三角形去证明，是显而易见的。由于在第一种方法证明的时候，运用了三角形中位线的证明其实对这一道题也是有很大的启发。通过观察可以发现H也是EC的中点，而且FH垂直EC，也是很快证明出结论。

证明：过点F作FG∥AB（见图6），∴AB∥FG∥DC。∵F是AD的中点，∴G是BC的中点，H是EC的中点，∴EH=CH。∵CE⊥AB，∴CE⊥FG，∴FG是EC的垂直平分线，∴∠EFG=∠CFG=∠AEF.又∵FGCD是菱形，∴∠CFD=∠CFG=∠AEF，∴∠EFD=∠EFG+∠CFD+∠CFG=3∠AEF。因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

3.解题心得

任何知识都有其存在的背景，这种背景是知识赖以形成和发展的土壤。在特定的背景下，知识的形成和发展有其自身的规律。几何知识的学习需要经历知识的形成和知识的应用两个基本阶段，在解题的时候，需要启发学生提取已有的知识经验，和多边形学习中运用，对角线的经验，让学生自主地提取，与任务相关的经验，来分析问题和解决问题，并在证明之后通过反思总结来强化这种经验。当我们在研究几何证明题时，设计意图，从图形结构出发，体会图形性质，是图形构成要素和相关要素在图形变化下的不变特征，把选择性注意聚焦到题目的需求当中。因此在教学中，要突出演绎法，着重引导学生运用推理几何的方法探索证明和应用性质定理，发展逻辑思维能力，用观察归纳，建立知识之间的联系，强化知识的生成过程，实现系统化，着重解题规律总结，提炼核心规律。提升是在学生领悟的基础上的知识生命的拓展，通过对现有知识的成功领悟，让学生的求知欲望，探究的情神得到张扬和发挥[5]。

三、一题多解应用过程中需要注意的问题

1.选择相关的例题，多让学生进行解题过程的练习

人才培养的最高目标在于培养他们的创造能力和创新意识。学数学的本质是什么？学数学的本质是提升思维能力，而不是应付考试。如果能把学数学的观点改为思维能力，那就可以把知识彻底学通，把题目彻底做通，在提高成绩的同时，还锻炼了思维能力，对以后的学习、甚至是对以后的人生也是受益匪浅的[6]。在初中数学一题多解教学过程中，教师可以选择相关的例题，让学生尽可能多地进行解题过程的练习。在教学过程中需要注意两个方面：一方面，要求学生的解题方法必须是由常规解法到新颖的解法，要由浅入深，循序渐进地加快解题的速度，逐步提高解题的水平。另一方面，面对同一道题，要看谁想出的解题方法最多。实践证明，面对一道数学题，学生的解法越多，思路则越加开阔。在一题多解教学过程中，教师可以启发学生从多个角度来思考，也可以启发学生依据题意，从多个角度对题目中的已知条件进行表达，从而达到开阔思路的目的。

2.采用提问式教学，启发学生进行一题多解的思考

万变不离其宗，只要把其中的道理搞明白，一理通而百理明。同理，数学题目也是有规律的，要深入题目的本质，找到题目的规律，做通一题一片题都会了[7]。在初中数学课堂教学中，教师还可以采用提问式启发学生进行一题多解的思考。由于时间限制，面对一道题目，学生只需要阐述自己的解题思路即可，这样有利于老师迅速地了解学生的思维状态，从而对其进行正确的引导，帮助学生主动寻找出多种解题方法。比如，在解题过程中，教师可以启发学生，根据题目已知条件，进行未知数的设置，然后列出方程式，同时，也可以启发学生根据题目已知条件进行逆向思维，通过一正一反的解题方法来启发学生的思维方式，这也是一题多解的典型体现。

四、结语

真正的学习有两个关键要素：一是万变不离其中，二是通过多种解法发现规律。紧扣问题、探索过程、归纳性质是发现方法的桥梁，是产生解题灵感的素材，数学的一题多解教学必须紧紧围绕这一素材，才能合乎数学思维的发展规律，有效激发数学教学的创新理念[8]。教师应该引导学生从不同角度分析问题，找出不同的解题思路，引导的方式也是多种多样的，既可以可以采用口述，也可以要求学生书写解题过程。无论采用何种方式，最后教师都需要对多种解题思路的优点和缺点进行总结，回归知识的生成，鼓励学生继续开阔思维，寻求更多解题思路。

参考文献：

[1]马娇娇，侯万胜.在初中数学一题多解中培养学生的数學思维的探讨[J].中华少年.科学家，2016，12：169-170.

[2]张唯.培养多变思维，实施一题多解教学[J].中学课程资源，2013，10：28-28.

[3]陈峰.“一题多解”是提高初中数学教学有效性的“催化剂”[J].中学数学研究（华南师范大学）：下半月，2017，9：22-25.

[4]李文斌.从初中数学的一题多解谈培养中学生创新思维能力[J].中国校外教育：中旬，2010，1：54-54.

[5]陶强绪.“一题多解”法在初中数学中的运用[J].教育科学（全文版），2017，03（05）：00068-00068.

[6]吴美娟.开拓思路，一题多解——初中数学教学设计分析[J].数学教学通讯，2017，17：60-60.

[7]吴美娟.开拓思路，一题多解——初中数学教学设计分析[J].数学教学通讯，2017，17：60-60.

[8]罗淬.“一题多解”在初中数学教学中的应用实践[J].《教育（文摘版），2017，10（03）：00111-00111.