问题链教学案例：代入消元法解二元一次方程组

摘 要：本案例采用问题链、变式的方式，让学生经历“探索——发现——总结——应用”的数学活动过程，引导学生探索二元一次方程组的解法和一元一次方程之间的联系，初步体会“消元”思想和“化归”思想，进一步培养学生推理能力和应用意识。

关键词：问题链；化归思想；代入消元法

在小学阶段和七年级下册第六章，学生已经学习等式与方程、一元一次方程等知识，而“二元一次方程组的解法”是学生在掌握了一元一次方程的解法以及二元一次方程组的有关概念之后自然要解决的问题。

一、 新知学习

问题1：下列三对数值：x=2y=7，x=1y=6，x=0y=5，哪几对是方程组y=x+53x+2y=10的解？

[设计意图]通过如何确定“二元一次方程组的解”这一熟悉的情境引发学生对二元一次方程组及其相关概念的回忆。

问题2：对于方程组y=x+53x+2y=10，除了第三对数值是它的解，是否还存在其他解？

[设计意图]面对这一追问，学生争先恐后地进行解的检验，最后却都无功而返。通过这个问题，激发学生对如何求解二元一次方程组产生强烈的兴趣，唤起学生学习新教学点的兴趣。

问题3：对于方程组y=x+53x+2y=10，它与我们之前学过的一元一次方程有什么区别？怎样才能求出它的解呢？

[设计意图]通过这一问题，引导学生将二元一次方程组与一元一次方程进行对比，促使学生结合解一元一次方程的方法和经验，探索方程组的解法，让学生充分理解本节课的重点是掌握二元一次方程组的解法，明确本节课所要学习的主要内容。

二、 自主探究

教师组织学生阅读课本第27、28页的“探索、观察”，并设计以下问题：

问题4：利用书本所采用的方法，你能求出方程组y=x+53x+2y=10的解吗？

[设计意图]学生通过自主学习，进而独立解决问题。在这一过程中，让学生体会主动学习、发挥主体意识的重要性，也增强他们学习数学的信心和乐趣。

问题5：为什么可以将第①式y=x+5代入第②式3x+2y=10，依据是什么？

[设计意图]通过这一问题让学生提升对“二元一次方程组的解”的理解，使学生初步感受运算与逻辑思维的有机组合，借此机会，再次发展学生的运算推理能力。

问题6：为什么要将第①式代入第②式，有什么好处吗？

[设计意图]利用这一问题引导学生对“代入消元法”的深层次思考：“代入消元法”的本质是将复杂问题（多变量问题）转化为简单问题（单变量问题），也就是可以化二元为一元，最后转化成我们所学过的一元一次方程，让学生领悟“转化化归思想”的精妙之处。

三、 合作提升

问题7：现在我们将题目变式为2x-y=-53x+2y=10，大家以小組讨论的形式，给出解决的办法。（选择个别小组，进行调板演算）

[设计意图]原题的第①式属于“用含一个未知数的代数式表示另一个未知数”的形式，而该变式则将其打回原形。学生在面对该问题时（这也是本节课的难点之一），会产生较大的困惑：无法像原题那样直接代入消元。这一困惑将再一次激发学生探索的欲望和突破难点的兴趣，进而通过合作学习，共享集体思维成果，进一步达到对“代入消元法”更为全面的理解：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数是代入消元法的基础。

四、 引导发展

在问题7的调板演算过程中，学生给出以下两种形式的解答：

方法一：由①得y=2x+5，……③

将③代入②，得3x+22x+5=10

解得x=0

将x=0代入③，得y=5

所以方程组的解为x=0y=5

方法二：由①得x=y-52，……③

将③代入②，得3·y-52+2y=10

解得y=5

将y=5代入③，得x=0

所以方程组的解为x=0y=5

教师针对学生出现的两种“用含一个未知数的代数式表示另一个未知数”形式：y=2x+5以及x=y-52进行适当的点拨、总结：两种方法都能准确应用“代入消元法”进行求解，实现消元的目的，也体现了化归转化思想，应给予充分肯定。但是方法一选择系数比较简单的形式，更方便后面的运算。

[设计意图]教师适时适当的点评，亲切而又充满鼓励的言语，可以增强学生主动学习的信心，鼓舞学生的士气，让学生享受成功的喜悦。

问题8：大家能总结用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤吗？

[设计意图]学生通过“探索——发现——总结——应用”的数学活动过程，体会二元一次方程组的解法和一元一次方程之间的联系，进一步培养学生推理能力和应用意识，并从中体会消元思想和化归转化思想。

五、 成效评价

1. 把下列各式用含x的代数式表示y：（1）2x-y=4 （2）3x+2y=17

2. 用代入消元法解方程组：（1）x=3y+2x+3y=8 （2）2x-y=83x+2y=6

[设计意图]学生利用以上练习，进行自我检测。教师针对学生的练习效果，及时发现学生薄弱环节，并给予巩固加强，查漏补缺。

3. 如果方程组2x+3y=7x-3y=-1的解是方程3x+my=8的一个解，求m的值。

[设计意图]作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展。

作者简介：刘振龙，福建省泉州市，泉州市培元中学。