还“空间直线平行的传递性”为定理更好

贵州省铜仁市第一中学 龙昌和

“公理4”是定理，可以用平面的基本性质中的公理和推论以及平行直线的定义证明。我国解放初期，高中数学教材曾经大面积引用苏联的教材版本，“公理4”就是定理，不过是安排在“直线与平面平行的判定和性质定理之后”。之后，教材的编写思路大体是：研究立体几何要从介绍基本元素——平面开始，然后遵循直线与直线、直线与平面、平面与平面的深入顺序。这个意图，原人教版（甲种本）贯彻得最好，但是苦于不能再像苏联教材那样用“直线与平面平行”的知识来证明，又考虑到“公理4”直观、易懂，故教材作为公理介绍。当然，也有可能是教材编写专家有意降低学生学习立体几何的入门难度，真实情况难以考证。本文考虑到以下几点理由：

一、数学教育的一个重要价值应该是培养学生的数学文化

数学的思维方式、数学的严谨品质都是数学文化的重要组成部分。例如我们建立向量的有关概念时允许“向量可以平行移动”，平行移动得平行移动得与能平行吗?如果不能，就不可能同向，就不能相等，那么向量相等的传递性就得不到保证，向量还能干什么？空间直线平行的传递性定理是“向量可以平行移动”的依据。

二、社会主义新时代呼唤创新人才

对初等教育需要有更高的要求，数学课堂的教学过程应该从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。曾经一段时间，“中学数学教育不是把每个学生都培养为数学家，多记一些生活、工作中管用的知识，哪怕不明白其中所以然也可以认可”的言论影响了我们的教材编写。我们认为，数学教材的编写应该充分考虑数学学科自身的特点，突出学科核心素养的价值。

三、影响学生学习立体几何的最主要因素不是空间想象能力，更多的成分是逻辑推理

教学中经常发现，有相当一部分同学对立体图形的分析只停留在“看”，还像初中观察平面图形那样想问题。当老师问及这些同学是否记住线面平行与垂直关系的判定定理和性质定理的时候，都说记不住。结果是，垂直的发现不了，不垂直的以为垂直，遇到没有明显三条直线两两垂直的立体图形背景，学生分析不了立体图形中的线面之间的位置关系，向量法也无用武之地，高考命题也陷入了只有取材于长方体的简单、明显的局部图形为背景的尴尬境地，否则难度会意外增加，影响区分度，归根结底都是弱化了逻辑推理的教学所致。

自1983年参加工作算起，我从事高中数学教学三十五年，每次讲授“公理4”，我都与学生一起互动，引导学生完成“公理4”的证明过程，效果很好。学生的好奇心、参与度很高。下面展示“公理4”的证明，仅供参考。

公理4：如果两条直线同时和一条直线平行，则这两条直线平行。

已知：a∥b，b∥c。

求证：a∥c。

证明：a∥b，记a，b共面α，又因为b∥c，记b，c共面β，

过直线c和直线a上一点A作平面γ，记α∩γ＝d，可知c∥d，否则c与d的交点在b上，与b∥c矛盾。 进一步可证d∥b，否则d与b的交点作为β和γ的交点在c上，与b∥c矛盾。

由a、d、b共面α，

a∩d＝A，

a∥b，d∥b，

可知a与d重合，因此a∥c。

基于以上理由，我认为还“公理4”为定理更好！一个合理的公理化系统中，各条公理之间应该具备独立性，显然上述证明说明了这个“公理4”实际上是可以由立体几何平面的基本性质和直线平行的定义、公理推出的。把空间直线平行的传递性作为公理显然是与平面基本性质的三个公理“重复”。以上证明过程简明，能被学生接受，没有超出学生的认知基础。“公理4”的证明本身就是一个很典型的例题，能给学生一个很好的训练，是立体几何平面基本性质的一个很好的应用典例。定理证明的教学过程展示欧式几何数学思维的同时，很好地强调了数学的严谨品质，对于在立体几何教学中强化学生的逻辑推理训练也开了一个好头。