浅谈研究电源最大输出功率的几种方法

邢占乐 谷树亚

(河北蠡县中学 河北 保定 071400)

张春梅

(蠡县大百尺中学 河北 保定 071400)

在学习高中直流电路的知识时，对闭合电路中电源最大输出功率与负载的关系的分析研究过程，可以从不同角度展开，巧妙地用物理规律公式结合数学函数关系，采用图像法推导出电源最大输出功率的条件 .

1 基本的电学规律和概念

1.1 闭合电路欧姆定律

(1)内容：闭合电路中的电流强度跟电源的电动势成正比，跟整个电路的总电阻成反比.

1.2 闭合电路中各部分的电功率

如图1所示，整个闭合电路包括内电路和外电路，内电路是指电源内部的电路部分，包括内电阻，而外电路是指电源两极之外的电路部分，包括负载电阻和其他外部电阻.

图1 闭合电路欧姆定律电路图

整个电路消耗的功率叫总功率P总，电源的内阻消耗的功率叫内功率P内，电源外部的负载电阻消耗的功率叫电源输出功率P出.分别对应的表达式如下：

(1)电源的总功率

P总=IE

(2)内电阻内耗功率

P内=I2r

(3)负载电阻的功率

P出=P总-P内=IE-I2r=IU=I2R

电源输出的最大功率是我们所要讨论的内容，影响电路中各部分消耗功率的关键因素是外电阻变化、电路电流变化、路端电压变化.

2 分析过程和方法

设定当外电阻为纯电阻电路时，电源电动势为E,内电阻为r,路端电压为U，外电阻为R.如图1所示，研究分析如下.

2.1 电源的输出功率随外电阻变化的讨论

(1)配完全平方法

负载电阻R的功率

P出=I2R

(1)

据闭合电路欧姆定律

(2)

由式(1)、(2)联立解得

(3)

从式(3)可以直接看出，当R=r时，P出取得最大值，最大值为

由式(3)还可以绘制P出-R图线，如图2所示.

图2 P出-R图线

可以从图像中直观看出，电源的输出功率随外电路电阻的变化而变化，P出的数值随负载电阻R数值的变化并不是单调的，只有当R=r时，P出取得最大值；当0r时，P出单调递减，P出的数值随着R的增加而减小,进而可以直接讨论分析一些电源输出功率大小情况的相关问题.

(2)配构对勾函数法

同上由式(1)、(2)联立解得负载电阻R的功率

(4)

式(4)的分母可以按对勾函数进行处理，令式(4)中

存在最大值，最大值为

2.2 电源的输出功率随电路中电流变化的讨论

(1)构建P-I函数求极值法

据闭合电路中功率关系

P出=P总-P内=IE-I2r

因电源的电动势和内阻为定值，P出随电流I的变化而变，可以绘制P出-I二次函数图线 ，如图3所示.

图3 P-I图线

通过分析电流的变化可以推出当R=r时，电源输出最大功率为

2.3 电源的输出功率随路端电压变化的讨论

(1)构建P-U函数求极值法

负载电阻R的功率

P出=UI

(5)

将式(2)变形为

(6)

由式(5)、(6)联立解得输出功率表达式

推得

因电源的电动势和内阻为定值，P出随电压U的变化而变，可以绘制P出-U二次函数图线，如图4所示.

图4 P出-U图线

2.4 电源的输出功率从U-I图像中讨论

据闭合电路欧姆定律，可知路端电压与电路电流的关系为

U=E-Ir

(7)

绘制U-I图像如图5所示.

图5 U-I图线

负载电阻的电功率

P出=IU

(8)

由式(7)、(8)可知，当电路电流为I1,电路电压为U1，负载电阻电功率为P1=I1U1，如图6所示，可以看出矩形阴影面积表示负载电功率的大小,坐标点(I1,U1)与原点连线斜率表示负载电阻大小，此时负载阻值为

图6 当电流为I1时，U-I图像各部分的物理意义

当电路电流为I2,电路电压为U2，负载电阻电功率为P2=I2U2，如图7所示,可以看出矩形阴影面积表示负载电功率的大小,坐标点(I2,U2)与原点连线斜率表示负载电阻大小，此时负载阻值为

图7 当电流为I2时，U-I图像各部分的物理意义

图8 矩形面积最大时所对应的各物理量

通过分析U-I图像里的矩形面积变化可以推出当R=r时，电源输出最大功率为

3 结束语

通过上述几种利用数学思想方法的探讨分析，我们能够轻松求得电源最大输出功率的条件及最值，进而方便直接、快捷解决相关直流电路的物理问题，并深知数学知识在解决物理问题方面有着重要的作用.其实很多物理规律都是通过数学建模归纳推导的，希望大家在学习物理的过程中牢牢树立用数学知识解决物理问题的思维和意识，这是学好物理的前提.